《垂直于弦的直径》教学设计.1.2垂直于弦的直径

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1、《垂直于弦的直径》蓬鸥中学黄思洁教学目标：1．理解圆的轴对称性，在经历探索圆的对称性及相关性质的过程中，培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性。2．掌握垂径定理及推论，学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题，从中让学生学会运用文字、图形结合认识新知。3.经历“（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程”的过程，感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力。教学重点：掌握垂径定理及推论。教学难点：结合垂径定理判断出命题中的题设和结论，及应用垂径定理解决问题。教学过程活动1

2、实践操作，探索新知1.实验归纳探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？结论：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴。（注：提醒学生对称轴是直线。）圆的对称轴有无数条。证明：⊙O关于直线CD对称（分析：只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上）【设计意图】：让学生在探究中得出结论，并证明圆是轴对称图形，掌握证明一个图形是轴对称图形的常用方法。2．探究新知⑴演示：将圆沿直径CD对折学生用折叠圆的方法去观察比较，猜想结论。小组合作交流，展示交流成果，⑵思考：根据轴对称性，取对

3、称点，找出图中相等的线段和弧观察：图形重合部分（轴对称、A与A′重合）猜想证明：线段相等、弧相等①师生结合动画演示，验证猜想的正确性；②然后引导学生分析上述命题的条件和结论：即由一条直线若满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦；则可以推出：（3）平分弦，（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。-3-⑶归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。【设计意图】：利用多媒体的动画演示，让学生在动感变化中去体会用“叠合法”证明垂径定理．在整个活动中从学生观察课件演示开始，然后思考、交流、论证、总结，让学生充分体验到知识的形成过程。而分析垂径定理中的

4、题设和结论的过程，既可以加深学生对定理的理解，又为学习推论作好准备。3．巩固定理⑴⊙O中,CD是直径，AB⊥CD.图中相等的线段有____________________，相等的弧有_______________。⑵如图，在⊙O中，AB是弦，∵OC⊥AB于点C，AB=8，∴BC=_______=________∵OB=5∴在Rt△OCB中，OC=__________=_______【设计意图】：学生解答借助这两道简单的填空题的过程中，既巩固了垂径定理，又加深对定理中题设和结论的理解。其中第2题直接构造了直角三角形，引导学生利用勾股定理解决问题，同时为更好地解答课本第

5、83页练习1做了铺垫.活动2例题示范，学以致用1、课本第83页练习1：在⊙O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离OD=3㎝，求⊙O的半径。【分析】连结OA,构造直角三角形，运用勾股定理来解决。2、解决求赵州桥拱半径的问题例2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历史，是我国古人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．【分析】解决这个问题的关键是要根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，把实际问题转化为数学问题．把这个问题中的已知什么和欲求

6、什么转化为数学问题的已知和求解，因此要画出图形，并结合图形写出已知、求解；其次再讨论如何解决这个问题；最后才写出解题过程。3、师生共同完成解题后，引导学生进行归纳：解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。【设计意图】：利用学生所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，同时通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验，逐步将数学知识转化为数学技能。-3-4、拓宽思维交换垂径定理中的条件和结论，由一条直线若满足：（1）过圆心；（2）平分弦；则可以推出：（1）垂直于弦，（2）平分弦所对的劣弧；（3）平分弦所对的优弧，结论是否依然成立?教师

7、按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论。启发发学生利用圆的轴对称性来证明问题，得出垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。【设计意图】：利用刚学的垂径定理交换题设和结论，巩固了学生对垂径定理的题设和结论的掌握，也可以顺利地过渡到垂径定理的推理。同时在归纳垂径定理的推论时注意强调容易忽视“不是直径”这一条件。活动3：运用知识，解决问题：1、判断下列命题：（1）平分弦的直线，必定过圆心。（2）平分弦的直线，垂直于这条弦。（3）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。【设计意图】：学生结合垂径定理学生很容易判断这几个命题，可以通过这个活