24.1.2垂直于弦的直径.1.2垂直于弦的直径

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1、校内公开课教学设计课题:垂直于弦的直径授课人：朱亚丹授课班级：九（6）班时间：2015年11月4日上午第三节课垂直于弦的直径【教学目标】知识与技能：1.理解圆是轴对称图形.2.明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程.3.能初步应用垂径定理进行计算和证明.过程与方法：经历圆是轴对称图形、垂径定理的探究过程，发展合情推理能力，体会转化、数形结合的思想.情感、态度与价值观：1、通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，感受数学在生活中的运用，激发学习热情.2.在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果.【重难点】教学重点：

2、垂径定理及应用.教学难点：垂径定理的证明及应用.【教学方法】启发引导式【教具准备】多媒体课件、彩色粉笔、圆规、三角尺【教学过程】一．创设情境赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？7设计意图:通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，让学生感受1400多年前数学在生活中的运用，激发学生学习热情，思考如何解决实际问题，带着问题探究学习。二.思考探究探究1：用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么

3、结论？结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。设计意图：通过动手折叠，培养学生的动手操作能力，使学生在解决问题的过程中不断探究、学习新知识.探究2：在纸上的圆中任意画一条弦AB作直径CD垂直弦AB于Ｅ(垂直于弦的直径)垂足为E.想一想：（1）此图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（2）你能发现哪些相等的线段和弧？为什么？你能得到什么结论？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是

4、等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此7AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD设计意图:让学生经历知识的形成过程,并围绕问题情景探究思考.使学生明白轴对称图形的性质在证明题时的应用.体验用“叠合”法推证问题的过程，形成解决问题的一些基本策略，需规范学生证明步骤。垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（让学生用三种语言对垂径定理进行表述）想一想：下列图形是否可以使用垂径定理？为什么？探究3问题：

5、把垂径定理中的题设垂直于弦的直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：为什么强调这里的弦不是直径？设计意图：分析垂径定理的题设和结论帮助学生理解，借助于图形形象直观的加深理解，并为下一步垂径定理的操作、运用打下基础。“知二推三”7(1)过圆心(2)垂直弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意:当过圆心，平分弦时，弦不能是直径.三.垂径定理的应用1.算一算现在你能解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗？解

6、：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O做弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于点C，连接OA,D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。AB=37，CD=7.23AD=1/2AB=1/2×3.7=18.5OD=OC-CD=R-7.23在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.52+（R-7.23)2,解得R≈27.3（m）因此，赵州桥的主桥拱半径为27.3m2.判断：①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤

7、弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。7AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BD提问：此题你还有其他解法吗？4.已知：⊙O中，弦AB∥CD。求证：AC＝BD证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD（圆的两条平行弦所夹得弧相等）小结:解决有关弦的问题，经常是过

8、圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。设计意图：设计判断题是为了消除对垂径定理的认识误区；巩固提高和课堂检测目的是进一步巩固定理，利用定理进行计算、证明。使学生明确解