慢变控制下Chen系统的复杂行为及其机理.pdf

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1、物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．63，No．18(2014)180503慢变控制下Chen系统的复杂行为及其机理冰张晓芳t韩清振陈小可毕勤胜(江苏大学土木工程与力学学院，镇江212013)(2014年5月4日收到；2014年5月22日收到修改稿)由于Chen系统的控制分析大都是基于同一时间尺度，而两时间尺度耦合问题的相关研究基本上局限于单维慢变量情形．本文探讨了基于慢时间尺度上的Dufing振子，即含有两维慢子系统控制下Chen系统的动力学演化过程．给出了诸如对称式fold／fo1d、对称式fold／Hopf、对称式homoclinic／ho

2、moclinic等不同形式的簇发振荡行为，并揭示了其相应的产生机制，指出慢子系统中两维慢变量的相互影响导致系统产生了类似于周期激励下的簇发行为．关键词：Chen系统，簇发，分岔，快慢效应PACS：05．45．—a．05．45．PqDOI：10．7498／aps．63．180503更普遍的则是采用数值仿真[9】’只是这些方法都无1引言法解决不同时间尺度的相互作用．直到Rinzel引入了快慢分析法，不同时间尺度之间的相互作用及自Lorenz系统中的混沌现象被揭示以来，非所导致的各种簇发振荡才得到较好的处理，并引发线性动力学理论得到了蓬勃发展，各种混沌系统了

3、大量的有关簇发振荡及其机理的研究．如Han如Rossler振子、蔡氏电路等纷纷被建立起来，其中等[10]通过快慢分析法研究了两个时间尺度超混沌Chen系统由于其混沌吸引子的特殊结构吸引了各Lorenz系统的焦一焦型簇发：Shi等[11]研究了分数国学者的研究兴趣，围绕该系统开展了大量诸如控阶Morris—Lecar(M—L)模型的簇发振荡，其中包含制、保密通信等相关工作[，2l，但这些工作大都基多种整数阶M—L模型所不具有的簇发形式；Wang于同一时间尺度．而在实际工程系统中存在着大等[12]通过引入有限时滞研究了簇发同步问题；Lii量不同时间尺度耦合

4、问题，如化工系统【3】、生态环等113】通过引入参数研究了神经网络中的短簇发现境【】等，不同时间尺度耦合系统常常表现为大幅象．特别地，Izhikevich从余维的角度给出了单慢变振荡和微幅振荡的耦合，即所谓的张弛振荡[5】．虽量余维一分岔下的各种簇发振荡现象．但这些工作然在实际工程系统中发现了大量的这种振荡模式，大都是围绕单一慢变量开展的，其相应的分岔机制开始并没有引起太多的关注，直到诺贝尔奖获得者Hodgkin和Huxley[0】建立了两时间尺度神经元模也相对简单．型，成功地阐明了神经动作电位产生的机制，不同本文考虑两时间尺度下两维Dufing振子控

5、制时间耦合的问题才引起了国内外的广泛关注．的Chen系统的复杂动力学行为．在分析了快子系如何处理不同尺度耦合系统的复杂行为一直统，即Chen系统随慢变量变化的分岔行为的基础是困扰国内外学者的难题之一．起初，人们通过上，给出了受控系统随参数变化产生的各种簇发引入准静态解将不同尺度系统约化到同一尺度振荡行为，并揭示了其相应的产生机制，探讨了上或通过奇异摄动法给出其相应的近似解【8]_Dufing振子中两个慢变量对系统行为的共同影响．}国家自然科学基金(批准号：21276115)资助的课题t通讯作者．E—mail：xfzhang~ujs．edu．ca@201

6、4中国物理学会ChinesePhysicalSocietyMtp：／／wulixb．劫hy．ac．cn180503-1物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．63，No．18(2014)180503该模型结构相对简单，两个子系统的动力学行为清个确定的值，故可以将u作为快子系统的分岔参数晰，基于不同时间尺度考察其耦合下的相应的动力来分析．特征，不仅具有典型意义，同时也是由单慢变量向统多慢变量的一个探索．则ll=为＆2两时间尺度耦合数学模型围绕Chen系统的行为及其控制，已有大量的工作见诸报道，其中较为普遍的方法是主动控制模式【到．在此考虑由Dufing

7、振子主动控制下的Chen系统，其相应的数学模型可以表示为=a(y—X1+ku图1Chen系统相图=(C—a)x—XZ+cy2=xy—bz．(1)也=∈10=(一／Iv+OLU一。+kx)隹=a(y__-x)+k⋯u，㈤图2Dufing系统相图快子系统平衡点用E(xo，Yo，ZO)表示，其中而慢子ayo+ku0—，(一+OlU一。+kx)(ayo+ku)yoZO：—————一，当k=0时，快子系统为经典的Chen系而Yo满足统．若参数b(2c—a)>0，Chen系统存(c-a)(ayo+ku)(ayo+ku)2y+在三个平衡点，分别表示为Eio(0，0，

8、0)和——一———_无—一cyo：0．aa‘DEI~(~V／(2c—a)b，士、／／(2c—a