二项式定理的应用

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1、二项式定理的应用【考点指津】1、能利用二项式系数的性质求多项式的系数和与求一些组合数的和．2、能熟练地逆向运用二项式定理求和．3、能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式．【知识在线】1、1+4(x－1)+6(x－1)2+4(x－1)3+(x－1)4等于（）A、(x－1)4B、x4C、(x+1)4D、(x－2)42、在(a+b)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项是（）A、第n项B、第n项和第n+1项C、第n+2项D、第n+1项和第n+2项3、已知xy<0，且x+y=1，而(x+y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x的取值范围是（）A、（－∞，）B、C、（1

2、，+∞）D、4、设n为奇数，则7n+·7n－1+·7n－2+…+·7被9除的余数是（）A、1B、0C、－2D、75、1．9975精确到0．001的近似值为．【讲练平台】例1求(x－1)－(x－1)2+(x－1)3－(x－1)4+(x－1)5的展开式中x2的系数．解一按等比数列求和．S===原展开式中x2项系数等于(x－1)6展开式中x3的系数，得(－1)3=－20解二x2项系数为－·(－1)0+·(－1)－·(－1)2+·(－1)3=－20例2已知(3x－1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：(1)a1+a2+…+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6

3、．解在(3x－1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0中，令x=0得a0=(－1)7=－1，令x=1得a7+a6+…+a1+a0=(3×1－1)7=27，①(1)由上，得a1+a2+…+a7=27－a0=27+1=129，又令x=－1，得－a7+a6－a5+a4－a3+a2－a1+a0=－47，②(2)，得a1+a3+a5+a7==26+2·46．高二数学期末复习6-5(3)，得a0+a2+a4+a6==26－2·46．解本题采用的方法是“赋值法”，多项式f(x)的各项系数和均为f(1)，奇数项系数和为，偶数项的系数和为．例3求9192除以100的余数．分析转化为二项展开式来求．解法一

4、9192=(100－9)92=10092—·10091·9+·10090·92—…—·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数．∵992=(10－1)92=1092—·1091+·1090—…+·102—·10+(－1)92=1092—·1091+·1090—…+·102—920+1=(1092—·1091+·1090—…+·102—1000)+81∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81．解法二∵9192=(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+1由于前面各项均能被100整除，

5、只有末尾两项不能被100整除，由于·90+1=8281=8200+81∴被100除余81．点评用二项式定理证明整除问题时，首先须注意(a±b)n中，a、b中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出，同理可处理余数的问题．例4求证：+++…+=(2n+1－1)．分析∵2n+1=+++…++∴右边=(++…++)比较左、右两边和，只要证明·=即可．高二数学期末复习6-5证明·=·==·=∴+++…+=(++…++)=(2n+1－1)例5在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m,n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．（1）求它是第

6、几项？（2）求的范围．解（1）设Tk+1==(axm)12－r·(bxn)r=a12－rbrxm(12－r)+nr为常数项，则有m(12－r)+nr=0，即m(12－r)+2mr=0，∴r=4，它是第5项．（2）∵第5项又是系数最大的项，∴有由①得a8b4≥a9b3，∵a>0,b>0，∴b≥a，即≤，由②得≥，∴≤≤．点评第（1）问正向用通项公式，第（2）问把第5项视作系数最大的项，则它比前后两项系数均大．【知能集成】1、证明组合恒等式常用++…+=2n这一结论．2、赋值法是求解二项展开式中系数和常用的方法．3、求解余数和整除问题常用到二项式定理．【训练反馈】1、若(4x－1)6=a6x6

7、+a5x5+…+a0，那么a6+a5+…+a0等于（）A、0B、1C、64D、7292、若(－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2的值为（）A、0B、2C、－1D、13、若(3a+b)n展开式的二项式系数和等于(x+y)8展开式的二项式系数和的2倍，则n的值为（）A、4B、8C、9D、16高二数学期末复习6-54、若今天是星期日，则今天后的第200