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1、一箭中的二项式定理的应用一.二项式定理的主要内容1.公式：通项：二项式展开式中第r+1项为:（r=0,1,,n)2.两个特别容易混淆的概念：（1）二项式系数：(i=0,1,,n)叫做二项式系数.（2）展开式中项的系数：展开式中某一项的系数。3.递推二项式定理的过程，即某一项的形成过程.例如：的形成过程：从n个括号中取r个括号中的b，另外n-r个括号中取a，故得.二.主要应用（除常规的展开外）1.递推过程的应用：例1.在(x+y+z)9中，求展开式中x4y3z2的系数.解：由x4y3z2的形成过程可知，在9个括号中取4个括号中的x，剩下5个括号中取3个括号取y，再剩下的两个括号中取z，故得x4
2、y3z2系数为=1260.例2.在(1+x)(2+x)(3+x)(19+x)(20+x)的展开式中,求x18的系数.解：在20个括号中取出18个括号取x，另外剩下两个括号取常数，由于各个常数不相等，故不能简单地用“组合数”计算，而应按实际数值计算。即在1，2，，20中任取两个数求积（所取两数不能重复组合），再求出这些积的和.如以“1”为准时，其积的和为：12+13+14+15119+120=209；以“2”为准时，其积的和为：23+24+25219+220=414；……以此类推，最后为1920=380，故x18的系数为这些和的和，即20615.例3.求(1+2x)(1+22x)(1+23x)
3、…(1+2nx)展开式中x项的系数与x2项的系数。x项的系数是与x2项的系数是2.求特定的项或特定项的系数：例1.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展开式中x2项的系数.解：（方法一）可逐项分析：(x-1)中没有x2项，-(x-1)2中x2项的系数为，(x-1)3中x210项的系数为，-(x-1)4中x2项的系数为，(x-1)5中x2项的系数为，于是，展开式中x2项的系数为：=-20.（方法二）原式可以看成是一个首项为(x-1)，公比为（1-x)的等比数列之和，于是，原式==∴展开式中x2的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数，∴系数为=-20.例2.求
4、(1+x)6(1-x)4的展开式中x3的系数.解：由乘法法则可知，展开式中x3的项分别由(1+x)6中的项x0,x,x2,x3与(1-x)4中的x3,x2，x,x0项对应相乘合并而成，故得展开式中x3的系数为=-8.例3.求（1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数.解：同上例，可知展开式中x5的项是由(1+x)10中的x5项,x2项分别与1-x3相乘合并而成，故得x5的系数为=207.例4.已知中x3的系数是，求a的值.解：令得r=8故∴∴a=43.有关整除或求余数：例1.求2100除以9的余数.解:10==+94950-300+1∵能被9整除，故余数由94950-300+1确定，而9
5、4950-300+1=44251=49169+7故余数为7例2.设n∈Nn≠1求证33n-26n-1能被676整除证明:33n-26n-1=27n-26n-1=(26+1)n-26n–1=-26n-1==676而为整数故33n-26n-1能被676整除.4.求有理项或求最大项系数；例1.求展开式中项系数最大的项及展开式中的有理项.解：=（1）设第r+1项系数最大，则≥≥解第一个不等式得r≥解第二个不等式得r≤因为r为正整数，故r=3.∴项系数最大的项是第4项，这一项为：.（2）要使展开式为有理项，须为整数∵0≤r≤10故r=0或r=6即第一项和第七项为有理项，它们分别是：T1=x5,T7=x
6、4.10例2.当（1+x+Px2)4的展开式中x4的系数取到最小值时，求P的值.解：（1+x+Px2）4=[1+(x+Px2)4令r+k=4∵0≤r≤4,0≤k≤r则r,k的值可能是(4,0),(3,1),(2,2)故展开式中的系数为=1+12P+6P2当x4的系数取到最小值时P=-1（此时最小值是-5）5.证明有关组合数的等式：例1.求证：证明：（方法一）∵k=(k=1,,n)故左边=n=n=右边（方法二）右边=n==n1+n(n-1)+nn==左边（方法三）令①则②两式相加①+②得2+n=故n10例2.求证2<<3n∈N,n≥2证明：=1+=1+1+＞2.＜＜=(i=n)=1+＜1+1+
7、=2+1-＜3.∴2<<3例3.求证：=.证明:右边======左边6.有关数列的计算；例1.已知（2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值.解：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)410令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4=(2-)4∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a
