高等数学（上）教学课件作者汤四平6-2.ppt

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1、第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、可化为齐次的微分方程四、小结思考题一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程解分离变量两端积分通解为解解由题设条件衰变规律例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可

2、分离变量所求规律为解例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例6求解微分方程微分方程的解为解例7求解微分方程解微分方程的解为例8抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图得微分方程由夹

3、角正切公式得分离变量积分得平方化简得抛物线三、可化为齐次的微分方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.解代入原方程得分离变量法得得原方程的通解方程变为例10求解微分方程解令再令两边积分后得变量还原得例11求解微分方程解令令令两边同时积分得变量还原后得通解利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.四、小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程思考题1求解微分

4、方程思考题1解答为所求解.思考题2方程是否为齐次方程?思考题2解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.练习题1练习题1答案练习题2练习题2答案