高等数学（上）教学课件作者汤四平6-6.ppt

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1、第六节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程三、小结思考题n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、二阶常系数齐次线性微分方程-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的

2、方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.二、二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例3利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例4解对应齐方通解作辅助

3、方程代入辅助方程例5所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例6三、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)二阶常系数非齐次方程求特解的方法(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.思考题1求微分方程的通解.思考题1解答令则特征根通解思考题2写出微分方程的待定特解的形式.思考题2解答设的特解为设的

4、特解为则所求特解为特征根（重根）练习题1练习题1答案练习题2练习题2答案