高等数学（上）教学课件作者汤四平5-5.ppt

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1、第五节定积分在几何上的应用一、元素法二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、平行截面面积为已知的立体的体积五、平面曲线的弧长六、旋转体的侧面积七、小结思考题回顾曲边梯形求面积的问题一、元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．曲边梯形的面积曲边梯形的面积二、平面图形的面积1、直角坐标系的情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注

2、意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解解补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为四、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那

3、么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、平面曲线的弧长弧长元素弧长1、直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长2、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长3、极坐标情形解解设一旋转体的侧面由一段曲线绕x轴旋转一周而得.为求其面积A,在[a,b]上取典型小区间[x,x+dx],相应于此区间上的窄带形侧面可近似地看成弧微分ds绕x轴旋转一周而成.六、旋转体的侧面积于是这一窄带形侧面可以用一个半径为

4、f(x)

5、

6、、高为ds的圆柱面来近似代替,从而得侧面积的微分元素所以此处假设f(x)在[a,b]上可导．例19求半径为R的球的表面积．解以球心为原点建立一平面直角坐标系,则该球是平面上半圆盘绕x轴旋转一周而成的旋转体,其表面积为求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）七、小结旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式思考题思考题解答交点立体体积练习题1练习题1答案练习题2练习题2答案

7、练习题3练习题3答案