初二数学第5讲：全等三角形综合 教师版 ——国展甘露.docx

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1、第五讲全等三角形综合一：找全等三角形的方法1.可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；2.可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；3.可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；4.若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。二：三角形中常见辅助线的作法1.中线倍长得全等；2.载长补短得全等；3.作平行得全等；4.作垂直得全等；5.作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；6.连等腰三角形顶点和底边中点得高线和角平分线；7.补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题

2、。1.重点：全等三角形的构造。2.难点：如何根据已知条件添加适当的辅助线。一：中线倍长：遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来。例1.已知：如图AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD解析：1对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边。2中线倍长可起到把分散元素转移集中的作用。答案：证明：延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD在△ABD和△CED中BD=CE∠ADB=∠EDCAD=ED，∴△ABD≌△CED，∴

3、AB=EC，在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC＞AE而AB=EC，AE=2AD∴AB+AC＞2AD例2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF∥AB.解析：DE=DC，相等线段可构造八字形全等，集中要素证平行答案：证明：延长AD,使DN=AD，连接EN在△ACD和△NED中DE=DC∠ADC=∠NDEAD=ND∴△ACD≌△NED∴DN=AC,∠DNE=∠CAD∵EF=AC∴EF=EN∴∠DNE=∠EFD∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴∠BAD=∠EFD∴EF∥AB【例3】如图甲，操

4、作：把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．解析：1证明两线段即垂直又相等经常利用倍长中线法构造全等三角形。2当题目中的图形进行旋转变换时，证明方法基本不变，只是在细节上难度有所增加。答案：解：（1）MD=MF，MD⊥

5、MF；（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，证明：如图乙，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2．在△AMD与△EMN中，∠1＝∠2MA＝ME∠3＝∠4∴△AMD≌△EMN，∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，∴FD=FN．∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（3）MD=MF，MD⊥MF，证明：如图丙，延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．在△AMD与△EMN中，MA＝ME∠1＝∠2MD＝MN∴△AMD≌△EMN，∴

6、∠3=∠4，AD=NE．又∵正方形ABCD、CGEF∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．∴DC=NE．∵∠3=∠4，∴AD∥EH．∴∠H=∠ADC=90°．∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8．∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，∴∠DCF=∠FEN．在△DCF与△NEF中，DC＝NE∠DCF＝∠FENFC＝FE∴△DCF≌△NEF，∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD．（二）载长补短：和宜并之差宜贴，短则补之长则截。此法是线段和差问题的

7、克星。例4：已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.解析：利用角平分线的轴对称性可以构造全等三角形从而证明三条线段之间的数量关系答案：证明：在AB上取AE=AC，连接DE△ACD和△AED中AC=AE，∠CAD=∠EADAD=AD∴△ACD≌△AED。∴DE=CD，且∠AED=∠C=2∠B∵∠B+∠EDB+∠BED=180，∠AED+∠BED=180∴∠AED=∠B+∠EDB∵∠B=∠EDB，BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD例5：已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，

8、求证：BC