高数1—极与连续.doc

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1、高数复习题1——极限与连续一、填空题1．函数的定义域为_______________________．２．函数的反函数为______________________．３．设，则____________．４．当时，若与等价，则_____，________．５．已知，则___________．二、单项选择题1．若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中）数列中的点（）（Ａ）必不存在；（Ｂ）至多只有有限多个；（Ｃ）必定有无穷多个；（Ｄ）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2．考察下列命题①若数列满足:，且，则。②若数列满足:，且，则。③设，且，则存在，当时，有。④设，且，则存在，当时，有。正确的命题是

2、（　）。（Ａ）①，③；　（Ｂ）②，③；（Ｃ）①，②，③；（Ｄ）②，③，④。3．下列结论错误的是（　　）．（Ａ）函数是有界函数；（B）当时，函数的极限存在；（C）是奇函数；（D）当时，是无穷小量．4．设，则=（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）1；（Ｄ）2。5．设，，则当时，（）．（Ａ）和是等价无穷小量；（B）是的高阶无穷小量；（C）是的低阶无穷小量；（D）和是同价无穷小量但非等价量．6．极限=（）（Ａ）2；（Ｂ）0；（Ｃ）；（Ｄ）不存在但不为。7．设，则（）．（Ａ）1；（B）0；（C）；（D）．8．下列运算过程正确的是（）．（Ａ）；（B）；（C）；（D）．9．设函数，讨论函数的间断点，其结论为（）（Ａ

3、）不存在间断点；　（Ｂ）是的间断点；（Ｃ）是的间断点；（Ｄ）是的间断点。10．设在处连续，则（）（Ａ）2；　（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。三、设．求的表达式．四、设函数，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型．五、设在上连续，求．六、计算极限（1）．（2）．七、设，（），证明存在，并求．八、已知，求．九、设是三次多项式，且，（1）求，；（2）求；（3）．十、设在区间上连续，，是两个任意给定的正数，证明存在，使得．参考答案一、填空题1．函数的定义域为．２．函数的反函数为．３．设，则．４．当时，若与等价，则，3．５．已知，则．二、单项选择题1．若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中）数列中的点（B）（

4、Ａ）必不存在；（Ｂ）至多只有有限多个；（Ｃ）必定有无穷多个；（Ｄ）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2．考察下列命题①若数列满足:，且，则。②若数列满足:，且，则。③设，且，则存在，当时，有。④设，且，则存在，当时，有。正确的命题是（B　）。（Ａ）①，③；　（Ｂ）②，③；（Ｃ）①，②，③；（Ｄ）②，③，④。3．下列结论错误的是（　B　）．（Ａ）函数是有界函数；（B）当时，函数的极限存在；（C）是奇函数；（D）当时，是无穷小量．4．设，则=（B）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）1；（Ｄ）2。5．设，，则当时，（A）．（Ａ）和是等价无穷小量；（B）是的高阶无穷小量；（C）是的低阶无穷小量；（D）和是同价无

5、穷小量但非等价量．6．极限=（D）（Ａ）2；（Ｂ）0；（Ｃ）；（Ｄ）不存在但不为。7．设，则（D）．（Ａ）1；（B）0；（C）；（D）．8．下列运算过程正确的是（C）．（Ａ）；（B）；（C）；（D）．9．设函数，讨论函数的间断点，其结论为（B）（Ａ）不存在间断点；　（Ｂ）是的间断点；（Ｃ）是的间断点；（Ｄ）是的间断点。10．设在处连续，则（D）（Ａ）2；　（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。三、设．求的表达式．解：四、设函数，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型．解：因为在时无定义，所以为间断点，函数在定义域内连续。又因为：当时，，所以是无穷间断点；当时，，，，所以，是可去间断点。五、设在上连续，求．解

6、：因为在上连续，所以，而，所以：。六、计算极限（1）．解：（2）．解：原式=。七、设，（），证明存在，并求．解：因为，所以：数列有界；下证单调性：因，假设，则：，即：，所以数列单调递增且有上界，从而，极限存在。设，则由得：，即：。八、已知，求．解：所以：，得：，当时，，不符合题意，舍去；所以，；此时，，因：所以：。九、设是三次多项式，且，（1）求，；（2）求；（3）．解：（1）因为，所以，，；（2）由（1）可知，为多项式的两个根，设，由，，解得：，所以，（3）。十、设在区间上连续，，是两个任意给定的正数，证明存在，使得．证：因为在区间上连续，且，所以，在连续，有闭区间上连续函数的性质，知：必

7、，使在上，从而，，对，有，即：，由介值定理得：，使。