集合筛法与数三大猜想的证明.doc

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1、集合筛法与素数三大猜想的证明陕西神木史明智集合筛法一般认为，用来制造素数表的厄拉多塞筛法在理论上是没有用处的。这种筛法虽然可以准确无误、一个不漏地找出不大于N的每个素数，却无法运用它来推理和证明更为深刻的问题。因为在不大于N的自然数集合中，任意一个不大于的素数P的倍数之个数为[]，就是这个取整程序阻碍了推理和计算的顺利进行。但是，这不等于说厄氏筛法所涉及的自然数、素数、合数相互关系的规律就无法进一步发掘和利用。本文试图在推理过程中突破整数限制来探究它们之间的规律，即将[]视为去推理，推理和计算过程不考虑取整

2、，只对最终结果四舍五入保留整数。对于由此产生的误差，在利用得出的规律解决实际问题时，根据问题本身对准确程度的要求再作具体分析处理。把[]视为，就可以这样表述：不大于N的自然数集合中，有的元素是P的倍数，也即自然数集合元素数分别与其中P的倍数集合元素数之比为1:。我们来证明如下定理。定理：在不大于N的自然数集合中，每次筛去不大于的一个素数的倍数集合，每次筛剩的自然数个数与其中P倍数的个数之比与未筛前它们之间的比保持不变，仍为1:（P不等于已筛过的素数）。直至筛剩数中不再有P的倍数。证明定理之前，先证明两个引理

3、。引理1：在不大于N的自然数集合中，一个不大于的素数P的倍数集合，或几个不大于的素数P,P….的公倍数集合，其中有的元素是P的倍数（前者中P≠P，后者中P不等于P,P….中的任一素数）。证明：前者集合可表示为P（1，2，3……）后者集合可表示为PP….（1，2，3……）显然，自然数列中某个项是P的倍数时，该集合这个元素也是P的倍数，而自然数列中有的项是P的倍数，故得引理。但若前者集合中P=P，后者集合中P等于P，P….其中之一时，该集合所有元素便都是P的倍数，故应除外。引理2：正整数等差数列中有的项是P的倍

4、数（P不等于公差中所含不大于的素因数）。证明：设等差数列中第一个能被P整除的项为mP，公差为d，则其后各项为mP+nd(n=1，2，3….)。显然，n为P的倍数时，该项亦为P的倍数，而n（自然数列）中有的项是P的倍数，故得引理。但若d为P的倍数时，则各项均为P的倍数，故公差中含该P者除外。公差为负数时，该数列为从大到小的正整数等差数列，同样适用本引理。定理的证明：不大于N的自然数集合可以划分出不同层次的子集合：不大于的各个素数的倍数集合，是第一层次的子集合；两子集交集,即两素数公倍数集合,是第二层次的子集合

5、；三素数公倍数集合，又是其中两素数公倍数集合的交集，这是第三层次的子集合;以此类推.（显然，这些子集合没有把大于的素数包括进去）。由引理1知，从不大于N的自然数集合到各层次各子集合，都各自有的元素是P的倍数（P不等于该集合公有的素因数）。所以，当我们在不大于N的自然数集合中筛掉2的倍数时，对于各层次各集合来说，除全部元素都是2的倍数的子集合是被整体筛去外，其他各集合都是被筛去自身元素数的，也就是这些集合的元素数都同时缩小。所以各层次各集合剩余元素数分别与其中所含其他子集元素数之比，仍保持未筛前它们之间的比值

6、不变，即仍为1:（此时P≠2）。同理，再筛去自然数集合剩余元素中3的倍数，除全部元素都是3的倍数的子集合被整体筛去外，其他各层次各集合都被筛去自身所剩元素的，即这些集合的元素个数又同时缩小。所以，再次剩余的各层次各集合元素数与其中所含其他子集合元素数之比仍保持1:不变（此时P不等于2和3）。以此类推，定理得证。我们在证明定理的同时，也得到了求N以内素数个数即π(N)的筛法，就叫集合筛法。因为筛去P的倍数中包括1倍即P本身，所以π(N)的渐近表达式要加上P的个数；又因“1”不是素数，故应减去1，即：π(N)～

7、N(1-)(1-)(1-)……(1-)+s-1=N(1-)+s-1(P=2,P≤)如前所述，把[]视为推导出的π(N)的渐近表达式，必然存在误差。下面，我们对误差做一些初步的分析和讨论：1.集合筛法的本质，就是在不大于N的自然数集合中按比例逐步筛去不大于的各个素数的倍数，即全部合数。因为N不可能被大多数不大于的素数整除，所以每次得出的筛剩数大多不是整数，如果每次都取整，必然会造成累积性误差，而且对筛剩数取整与本该对被筛数取整适得其反，最终必然导致完全错误的结论。而计算过程不取整，分数部分将在随后的计算中体现

8、其存在的作用。也可以这样理解：表达式中∏(1-)这部分是计算素数在自然数集合中所占的比值，所以不须也不能取整，与N相乘后才是素数个数，则应四舍五入保留整数。因为避免了累积性误差，这样得出的结果，误差自然不会大，而且当N很大时，误差绝对值与实有素数之比，即相对误差会更小（见附表一）。这里可能会提出这样一个问题：对比依据逐步淘汰原则得出的π(N)表达式，这个误差应该包括2个误差项（即有2个需要取整的项），这样多的误差