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1、四、空间曲线的一般方程一、空间直角坐标系及点的坐标二、两点间距离公式三、曲面与方程空间直角坐标系Longlan_sophiey@163.com一、空间直角坐标系及点的坐标按右手规则组成一个过空间一定点o,1.空间直角坐标系的基本概念由三条互相垂直的数轴空间直角坐标系.ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ在直角坐标系下点M有序数组(称为点M的坐标)过M点分别作垂直于三坐标轴的三平面，与三坐标轴分别交与P、Q、R三点坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C特殊点的坐标:原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:二、两点间距离公式有
2、两点间的距离公式:对空间两点A、B例1.在z轴上求与两点及等距离的点.解:设该点为解得：故所求点为因为思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?(1)设动点为利用得且(2)设动点为利用得提示:例.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点三、曲面与方程化简得：引例:解:设轨迹上的动点为求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程.说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有
3、下述关系:曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).例3：求动点到定点距离为R的轨迹方程.解:依题意，有即：故所求方程为：设定点为轨迹上动点为特别,当M0在原点时,球面方程为：表示上(下)球面.例2.研究方程解:此方程表示:表示怎样的曲面？半径为的球面.球心为配方得：说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是：一个球面，或
4、点，或虚轨迹.二次曲面∑：三元二次方程的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)一条平面曲线绕其平面上一条定直线1、旋转曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:旋转一周所形成的曲面，建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为：当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？曲线C:在yoz面上直线L的方程为:绕z轴旋转时,圆锥面即:椭圆锥面绕y轴旋转时,即:绕y轴旋转时，在yoz面上曲线C的方程为:旋转抛物面绕z轴旋转呢？椭圆抛物面在yoz面上曲线C的方程为:绕y轴旋转时，旋转椭球面例4：求坐标面xoz上的双曲线分别
5、绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转即实轴所成曲面方程为:绕z轴旋转即虚轴这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为双叶双曲面xyo(Hyperboloidoftwosheets)2、柱面定义：平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线.准线C在坐标平面上,母线l垂直该坐标平面.此点的坐标满足C方程:在xoy面上，表示圆C对任意曲面上的点平行z轴的直线l,圆C上任取一点直线l,与xoy面交于沿曲线C平行于z轴的一切直线故在空间：柱面.表示圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程,所形成的曲面,称为圆一般地,在三维空间平行于z轴;柱面,准
6、线xoy面上的曲线l1.母线柱面,平行于x轴;准线yoz面上的曲线l2.母线柱面,平行于y轴;准线xoz面上的曲线l3.母线表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面表示母线平行于z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)柱面举例抛物柱面平面(Cylinderofthesecondorderparabolic)从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴常见的二次曲面1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(
7、3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:四、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.2.
