现代控制理论复习.ppt

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1、【例1】设系统的微分方程为:求系统的状态空间表达式。,解选取为状态变量，即则由系统的微分方程得状态空间表达式,即其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为【例2】已知系统传递函数为试求其能控标准型、能观标准型状态空间表达式。解系统的能控标准型实现为式中由式(1-128)得系统的能观标准型实现为式中【例3】已知,求运用拉普拉斯变换法求解【例4】线性定常系统齐次状态方程为，其中A为2×2的常数阵。已知当时，状态方程的解；当时，状态方程的解，求系统状态转移矩阵及系统矩阵A解对应初始状态，自由运动的解为：由题意，得即则例5：【例6】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性

2、。解,,故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，即=3=n,故系统总是能控的。【例7】电路如图3-7所示。图3-7其中,u为输入,i为输出,流经电感的电流和电容上的电压为状态变量，分析系统的能控性。解令,整理以上三式得向量‑矩阵形式的系统状态空间表达式为当满足时，满秩，系统能控，否则不能控。例8考察如下系统的能控性。(1)系统能控(2)系统不能控(3)系统能控(4)系统不能控图3-8是系统（2）的状态变量图。图3-8（5）系统能控（6）系统不能控（7）系统能控【例9】电路如图3-9所示,u为输入，电阻R0上的电压y为输出,i1、i2为

3、状态变量,分析系统的能观测性。图3-9解令,可导出电路的状态空间表达式为能观测性判别矩阵可见,故系统是不能观测的。【例10】判断下列系统的能观测性（1）系统能观测（2）系统不能观测（3）系统能观测（4）系统不能观测【例11】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数解变换前系统能控判别矩阵因为,故系统是能控的，可化为能控标准型。又因为系统的特征多项式为故,,引入,其中非奇异变换阵由式(3-105)得则也可根据式(3-114)先求变换阵的逆矩阵。由式(3-115)得由式(3-114)得的逆矩阵为则变换后所得能控标准型为其中,由能控标准型,据式(

4、3-116)可直接写出系统的传递函数【例12】已知非线性系统状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。解由系统平衡状态的方程解出唯一平衡状态。选取标准二次型为李亚普诺夫函数，即,该函数是正定的。沿任意状态轨迹对时间的导数为将系统状态方程代入上式,得显然,有;且当时,,故负定。因此,所选是满足定理4-1条件的一个李亚普诺夫函数。而且当时，，根据定理4-1，系统在平衡点处为大范围渐近稳定。