现代控制理论复习

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1、输入变量输出变量状态变量状态向量中变量的个数n称为状态的维数，也称为系统的维数状态变量的选取不唯一，但最小个数是一定的系统状态空间描述：1、状态方程2、输出方程SISO:MIMO:2-2由传递函数建立系统的状态空间表达式能控标准实现：各积分器的输出组合成总输出（γ，β）能观标准实现：输入作用到各个积分器（β，γ）约当实现对于n阶系统，必含有n个积分器，将积分器的输出作为状态变量能控标准实现I型：反馈作用到个积分器输入能控标准实现II型：各积分器输出反馈到总输入能观标准实现1、2型与能控标准实现规律相同记忆图中α，β，γ的方向：α与x的方向始终相同对于γ控↓观↑

2、对于x,y，I异II同（对于能控而言，能观刚好相反）能控1型：AC1,BC1，CC1T能控2型：A等于AC1转置B、C分别等于B、C倒过来能观1型与能控2型互为对偶关系：二者的A互为转置二者的B、C互换，但是要注意横向量和竖向量问题能观2型与能控1型互为对偶关系：（反映在框图中为综合点和引出点互换，积分器输入输出互换，信号线方向取反）对角标准实现和约当标准实现是指：A为对角矩阵或约当矩阵2-3线性变换非奇异：可逆矩阵为非奇异，矩阵的秩≠0为非奇异线性非奇异变换，可逆变换通过线性非奇异变换，系数矩阵变成一样的，则两个系统是代数等价的特征多项式、特征方程、特征根、

3、特针值、特征向量其中非奇异变换只改变特征向量，变为，其余皆不改变N个相异特征根有N个特征向量，反之，不一定成立，重根现象用非奇异线性变换将系统化为能控能观标准型没有看化为对角型：①充要条件：N个线性独立的特征向量（特征根互异OR降秩数=特征根重数）T是一个方阵化为约当型：给定条件：矩阵降秩数≤特征根重数造成的后果：第一次解的时候解不出N个特征向量，只能解出（N—降秩数）个接下来解的时候应该看每一个解出来的特征向量里的元素的个数，有几个元素就一共可以解出多少个特征向量，如（1,2,3,0，0，0）则接下来可以解出（0,1,1,0，0,0）（0,0,1,0,0,0

4、），数字是随意编的，大概是这个意思之后的地推公式（虽然不知道怎么来的，线代书上应该有，貌似有那么一点印象）：凯莱·哈密顿定理自己试着背诵一下吧伴随矩阵：对每一个元素求行列式，然后转置最小多项式：首项系数为1的，阶次最小的多项式特点：1、阶次≤N2、存在且唯一3、能整除4、所有元素的公因式d(s),5、2-4系统的传递函数矩阵根据p维输入q维输出，做拉普拉斯变换得：状态伴随×B伴随×B输入=（sI-A)-1B=秩=φ（s）输出C×伴随×BC×伴随×B输入=C（sI-A)-1B+D=秩+D=φ（s）+D=G(s)其中要注意两个式子的表示方法严格真有理分式分子的阶数

5、<分母的阶数真有理分式分子的阶数≤分母的阶数(书上介绍的情况是等于)多输入多输出系统传递矩阵特点：1、D=0时，才是严格真有理分式D=G(∞)2、系统稳定，特征根都有负的实部时，静态增益矩阵G（0）3、线性非奇异变换不改变输入输出的传递函数矩阵4、系统传递函数矩阵的递推算法：两个基本公式:1、特征多项式2、伴随矩阵的特征多项式写法通过二者的对比计算可以得出第二个式子中的系数矩阵的值将输入输出方程求出的传递函数矩阵列出：把伴随矩阵化为多项式写法求得系数EE的求法和规律：1、系数永远是从an-1开始，第一个系数永远是12、变化的只有A的幂次方，最开始的幂次方数和E

6、的下角标之和为n-13、最后一个永远是CB2-5系统的连接并联串联反馈连接并联：1、两个个系统输入、输出维度分别相等2、串联：1、系统1的输出维度为系统2输入维度2、输出反馈连接：1、系统1的输入和系统2的输出维度相同系统1的输出和系统2的输入维度相同2、2-6线性系统状态方程的解线性状态方程的解：对于线性齐次微分方程：基解矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵的性质：1、关于逆的性质2、传递性3、状态转移矩阵的初始矩阵4、求导5、对偶系统矩阵的状态转移矩阵为不懂对于线性非齐次微分方程：设注：此处加上z（t），是因为想要保持住，这里的就是前面的，具有前面的所有性质继而通

7、过对x（t）的导数的计算求出z（t）的导数，接着通过积分求出z（t）最后得到状态变量x（t）=零输入解+零状态解对于线性定常系统，状态转移矩阵是时间差的函数因而得到的状态变量方程又可以表示为：自己背诵理解的线性定常系统的性质：1、逆矩阵性质（注意：以后此处的t指的就是时间差）2、传递性3、初始矩阵4、矩阵求导：对自身求导，对它的逆求导5、状态转移矩阵和A可交换6、对偶系统矩阵的状态转移矩阵为不懂矩阵指数函数定义：有关时间的状态的表达式的性质：1、幂和2、幂积3、AB=BA时，矩阵幂和才成立即4、凯莱哈密顿定理的应用：当A的特征根互异时，可求得转换后的系数。应用

8、矩阵指数函数，状态关于时间的方程可以有