现代控制理论复习大纲

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1、《现代控制理论》课程回顾内容体系：建模直接获取第2章系统的状态空间模型模型转换第5章传递函数矩阵的状态空间实现分析定量分析第3章系统的状态响应和输出响应定性分析第6章系统的稳定性第4章系统的能控性和能观性设计控制器第7章状态反馈和状态观测器最优控制第8章最优性原理与动态规划第9章极小值原理第10章线性二次型调节器第一部分系统数学模型的建立1．系统数学模型的种类：A、输入输出描述：输入输出微分方程、输入输出差分方程：传递函数(s域)、脉冲传递函数(z域)传递矩阵(s域)、脉冲传递矩阵(z域)脉冲响应函数、脉冲相应矩阵：（因果、t

2、0时刻松弛）B、状态空间描述基本概念：状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态轨线、状态方程、输出方程、动态方程（状态空间表达式、状态空间方程、状态方程）线性系统的结构图2．线性系统动态方程的建立A、由系统机理出发建立系统的状态空间表达式这是最基本的方法实践中这也是主要的甚至是唯一的方法。这需要涉及相关学科的一些基本知识，如电学（RLC电路）、力学（弹簧-阻尼器系统）、运动学、电磁学（电机特性），…….等等。考试只要求RLC电路和弹簧-阻尼器系统。B、由另外已知的系统模型转换：(1)由动态结构图——注意状态变量的选择xv如图所

3、示：该单元应该是：(2)由输入输出微(差)分方程、由传递函数：系统的数学模型与其初态无关，因此输入输出微(差)分方程很容易一一对应为传递函数（零初始条件下输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比）一一对应于同样：一一对应于而由传递函数求相应的状态空间表达式是所谓的实现问题。以连续时间传递函数的实现问题为例：若传递函数形如其状态方程实现是：则默认的能控标准型实现是（通常叫能控II型，教材上称之为能控I型）：下友型当然，还有可称为右友型能控标准型实现：（通常叫能控I型，教材上称之为能控II型）：在著名控制理论学者陈启宗教授[美国]的第三

4、版教材上给出了新的能控标准型型式，它的系统矩阵是上友型矩阵，它只是把下友型能控标准型实现的状态变量逆序重排了一下：当然，把右友型能控标准型实现状态变量逆序，还可得到左友型能控标准型：该传递函数的其能观标准型实现是（能观II型）：当然，它也有另外几种形式，这里略去。C、由动态方程到传递函数（矩阵）ÞD、连续时间系统的离散化设采样周期为T，输入值仅在离散时间时刻上可以改变。即对所有的TÞ,CD不变E、离散时间系统的直接建模通常社会、人文系统直接建立的数学模型通常都是离散时间系统。所不同的是，离散化系统的系统矩阵一定非奇异，而直接建

5、模的离散时间系统则不然。F、非线性系统的线性化通常都是指在平衡工作点附近的小扰动线性化：3．线性变换（状态变换）状态空间方程的转换：设状态变换为则变换后的状态空间表达式为：其中线性变换不改变系统的传递函数；所以不改变系统的BIBO稳定性；线性变换不改变系统的特征值；所以不改变系统的渐近稳定性；线性变换不改变系统的能控性；线性变换不改变系统的能观性；第二部分系统的定量分析1．线性定常系统状态方程的解2．状态转移矩阵的基本性质：首先指出矩阵指数的定义：(1)即：(2)即：(3)即：性质(2)、(3)表明矩阵指数满足上述有初态的矩阵

6、微分方程。(4)即：推论1：状态转移矩阵非奇异，且推论2：对任意整数k，总有(5)对任意非奇异矩阵P，总有(6)若A、B为可交换方阵，即，则推论3：对标量σ和方阵B，若有，则3矩阵指数的求法：直接计算法拉氏变换法标准型法这里的标准型主要指约当标准型。对角线型是它的一个特例，模式型是它的一个变种。要用标准型法求取矩阵指数，以下几个公式是非常重要且应该记忆的。若,则若,则若,则若,则待定系数法根据凯莱－哈密尔顿定理和矩阵指数的定义可得：当A有互不相同特征值时，可由下式确定：而当A有重特征值时，如此构造的R阵会出现完全相同的行，从而

7、造成奇异。解决的办法是：若R阵的第l行与第l＋1行相同，只需将R阵第l行的各个元素及p向量的第l个元素对求导，得到的新行替代原先的第l＋1行，若有k重，只需对第l行的各个元素对求导n－1次。例：4阶方阵A的特征值是，则有第三部分系统的定性分析一、能控与能达1．定义状态能控、状态能达、状态完全能控、状态完全能达、系统能控、系统能达；已知系统的状态方程为：，（记作系统{A,B}，下同）及该系统状态空间中的一个特定的状态，若对每一个，总存在定义在时间域[0,tf)上的控制函数，能把系统{A,B}从初始状态转移到状态，则称该系统的这一

8、特定状态是能控的。反之，若存在能将转移到状态的控制作用，则称状态是能达的。若系统{A,B}的状态空间中每一个状态都是能控（能达）的则称该系统是状态完全能控（能达）的，简称为该系统是能控（能达）的。注1：上述定义中“对每一个，总存在”可修改为“存在一个有限的，及”。对连续时间系