现代控制理论概念复习

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1、控制系统的状态空间描述状态：系统过去、现在和未来的状况，如：做直线运动的质点所构成的系统，它的状态就是质点的位置和速度。状态变量：能完全表征系统运动状态的最小一组变量。(表征系统状态的全面性与不多余重复性)t=to时刻,xl(to),x2(to),...xn(to)f£表示系统在该时刻的状态;t)二to时的输入给定，且上述初始状态确定时，状态变量就能完全确定系统在t〉二to时的行为。状态向量：用彼此独立的n个状态变量作为分量所构成的向量x(t)(不唯一性)任意选取的两个状态向量间为线性非奇异变换的关系。状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间称作状态空间。

2、状态方程：把系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型。状态空间表达式：状态方程和输出方程组合起來，构成了一个系统动态行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。系统的输入输出关系是用微分方程和传递函数来描述的，由系统的输入输出描述确定状态空间描述的问题在现代控制理论屮称为实现问题。耍求，在保持原系统的输入输出关系基础上，将系统的内部结构特性确定卜•來。能控标准型、能观标准型、约当标准型(对角线型)传递函数阵：C(Sl-A)_1B+D线性定常系统的系统矩阵A的特征值是表征系统的动力学特性的一个重耍参量。当特征值为两两互异吋，出特征值表征的

3、标准形为具冇对角线标准形的形式；而特征值为非互异吋，标准形将为约当标准形。2组状态变量之间存在着非奇异线性变换关系x=Px即原系统x=Ax+bu,y=Cx+Du,另外取一状态向量免，则对应所列写的状态空间表达式为龙=P_1APx+p7Bu,y=CPx+Du。报状态方程变换为对角标准形/约当标准形系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性。一旦得到了系统的数学模型，下一步就是分析系统模型，为了揭示系统状态的运动规律和基本特性。——状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解，x（t）=e^x（O）矩阵指数请同学们回顾一卜•矩阵指数的性质（3分钟），例题：己知系统

4、x=的状态转移矩阵试求系统矩阵A几个特殊的矩阵指数:（1）A为对角矩阵（2）A为约当矩阵y-TH-1t2t—(m—l)!2!凸-2]t•••(m-2)!]（3）A为多个约当块的约当矩阵0eA2t000]eAstQAlteAt=[00矩阵指数的计算:(1)直接按照定义计算(2)拉氏变化法(3)将矩阵化为对角线标准形或约当标准形则,700-A=P0久20P_).00久3-eAlt000=P00p-1-00e久3：则若A阵冇重特征根,1m-1(in—1)!"-2…(m—2)!11(4)凯莱哈密顿法——化矩阵指数0加为A的有限项法。eAt=a0(t)/++a2(t)

5、i42H式中参数，当矩阵A的特征值非互异时，如何计算？例题，(6分钟)x(t)=线性定常连续系统非齐次状态方程的解t>t0线性系统的能控性与能观测性线性定常连续系统的(状态)能控性判据：(1)充要条件——能控性矩阵"c=[BAB…沪-叨]的秩为no(2)A阵变换成对角标准形月后，对应的P不包含元索全为0的行。(3)A阵有重特征值吋，A变换成若当标准形力后，对应的P短阵屮与每个约当块最后一行对应的那些行，其各行的元素不全为零。线性定常连续系统的（状态）能观性判据回顾（2分钟）习题（3分钟）