现代控制理论.ppt

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1、第1章控制系统数学模型本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。本章内容为：1、状态空间表达式2、由微分方程求出系统状态空间表达式3、传递函数矩阵4、离散系统的数学模型5、线性变换6、组合系统的数学描述7、利用MATLAB进行模型之间的变换数学基础一、矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。例如：属于二维矢量空间，属于n维矢量空间。当x属于某一矢量集V时，称x是V的元素，即x∈V。线性空间的定义：如果V是非空的集合，P为数域，设V具有

2、如下性质：1：V中的元素定义有加法，使任何x,y∈V有z=x+y∈V，并且加法运算具有下列性质：1)x+y=y+x2)x+y+z=（x+y）+z2：V中有这样的元素，称为零向量，记作0，它具有如下性质：1)对任何x∈V，有x+0=0+x=x2)对任何x∈V，存在-x∈V，使x+（-x）=0，则-x为x的逆元素。3：在V中定义了数乘，使任何α∈P，x∈V，有αx∈V，且1）α，β∈P，x∈V有（αβ）x=α（βx）2)（α+β）x=αx+βx3)α（x+y）=αx+αy4)1·x=x在上述条件下，称V为数域P上的线性空间，若P为复数域C（或实数域R）则V为C（或R）上的线性空

3、间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。二：空间的维数1：空间矢量的线性相关性和线性无关性设V是线性空间，x1,x2,…xm∈V,如果能找到一个数组(k1,k2,…km)≠(0,0,…0)，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性相关。反之，如果仅当(k1,k2,…km)=(0,0,…0)，才有k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性无关。定理一：设有n个矢量：a1=（a11，a12，…a1n）；a2=（a21，a22，…a2n）…；an=（an1，an2，…ann）如果行列式：则a1，a2…an必线

4、性无关。定理二：当m≥2时，矢量a1，a2…am线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。定义：在线性空间V中，若存在n个元素a1，a2…an满足：1）：a1，a2…an线性无关；2）：V中的任一元素a总可由a1，a2…an线性表示，则称a1，a2…an为线性空间V的一个基，n称为V的维数，记为dimV=n。维数为n的线性空间称为n维向量空间Vn，实n维列向量空间记为Rn，复n维列向量空间记为Cn。（2）矩阵的秩与矢量相关性的关系定理三：若rankA=r，则A中有r个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这r个行（列）矢量的线性组合。定

5、理四：n阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。定理五：设A∈Rn×m，B∈Rm×s，则rank（AB）≤min（rankA，rankB）。三：逆矩阵和矩阵的微分和积分1：逆矩阵对于非奇异矩阵A，存在着一个逆矩阵A-1，使AA-1=A-1A=I。逆矩阵具有如下性质：(A-1)K=(AK)-1、(A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1其中AT、A*分别为A的转置矩阵和共轭转置矩阵。若A、B均为非奇异矩阵，有(AB)-1=B-1A-1。2：矩阵的微分设则3：矩阵的积分设1.1状态空间表达式1.1.1状态、状态变量和状态空间状态——动态系统的状态

6、是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻的状态。（状态变量的选择可以不同）≥状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。建立方程：初始条件：和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量1.1.2状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个

7、矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。设：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间t的函数，则称系统为线性时变系统。严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的