正弦定理和余弦定理的综合应用.ppt

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1、三角形性质2、大边对大角，大角对大边4、如无特别说明，△ABC的边BC、AC、AB分别用a、b、c表示。知识小结1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生联系，为求三角形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础，也是判定三角形的形状，证明三角形中有关等式的重要依据.2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角

2、，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.CAB同理可证：在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状．∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．【变式3】法二由正弦定理，原等式可化为(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，

3、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解　法一在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍)．【变式4】法二由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC

4、，由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA．②由①②解得b＝4.例.判断满足下列条件的三角形的形状例.已知三角形的三边为1，2，a,若三角形为锐角三角形，求a的范围。