空间向量和体几何.doc

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1、知识清单：1，空间向量及运算：空间向量和平面向量的加、减、数乘一样。1.1空间向量的定义：空间中既有大小又有方向的向量叫做空间向量，用有向线段表示空间向量的定义或，是自由向量，不讲究起点，空间向量的大小叫做空间向量的长度或者模。记或者。1.2空间向量的夹角：过空间一点作，，则叫做与的夹角，记作，，当时，与垂直，记。当或时，。1.3特殊空间向量：当时，称为零向量，记，与任意向量平行和垂直。当，称为单位向量，对任意非零向量，叫做的单位向量。当=-时，称与互为相反向量。1.4方向向量与法向量：当与平行时，称是的方向向量，一直线的方向向量有无数个。当与平面垂直时，称是平面的法向量，一平面的法向

2、量有无数个。1.5向量的线性运算：1.5.1向量的加法符合平行四边形法则，减法符合三角形法则，又满足规律：，，若n个向量相加且首尾相接，则其和向量以开始起点为起点，以最终的终点为终点一样，即。1.5.2向量的数乘：与平面向量意义相同。，时，与同向；时，与反向；满足；；；1.5.3向量的共线定理：时，1.6空间向量的数量积：是一个实数。满足规律：不满足结合律，即：应用：2，空间向量基本定理及坐标运算：2.1空间向量基本定理：若向量是空间三个不共面向量，是空间任意向量，那么存在唯一一组实数使得，其中空间中不共面的向量叫做这空间的一组基底。2.2单位正交基：当一组基底两两垂直，且，则叫做单位

3、正交基底，对于任一向量，有，其中，，叫做在轴上的投影。2.3空间向量坐标运算：2.4向量坐标的应用：若，则=2.5待定系数法求平面法向量步骤：（1）设平面法向量为（2）找出平面内两不共线向量坐标（3）法向量与都垂直（4）解方程组，取其中一个解，就为法向量的坐标。3，用向量解决平行和垂直问题：直线的方向向量设为，直线的方向向量设为，平面的法向量设为，平面的法向量设为，则：，，，，4，用向量求夹角：4.1直线间夹角：当，共面时，把两直线夹角中范围在内的角叫做，间的夹角。当，互为异面直线时，在上任取一点A作，把和AB间的夹角叫做异面直线和的夹角。向量与夹角间的关系：已知直线和的方向向量为，当

4、时，直线和的夹角等于；当时，直线和的夹角等于。4.2平面间夹角：两平面所成的二面角中，范围在内叫做两平面间的夹角。向量与夹角的关系：平面与法向量为和，为两平面所称二面角的平面角由确定：当时，=；当时，=4.3直线与平面的夹角：平面外一条直线与它在平面内投影的夹角叫做直线与平面的夹角，范围在。设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，则：当时，=，当时，=5，用向量求距离：一个图形中任一点与另一个图形中任一点间距离的最小值叫做图形与图形之间的距离。5.1点到直线距离：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间一点到直线距离实际上就是空间中某一平面内点到直线的距离。是过点平行于

5、向量的直线，A是直线外一定点，点A到的距离为（为向量方向上的单位向量）5.2点到平面的距离：是过点的垂直向量的平面，A是外一定点，点A到平面的距离（为向量方向上的单位向量）。5.3线面距离和面面距离：5.3.1直线到它平行平面间的距离：一直线与一平面平行，这直线上任一点到面间的距离称为线面距离，一般将线面距离转化为点面距或面面距来求。5.3.2两个平行平面间的距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做这两平面的公垂线，公垂线夹在两平面之间的部分叫做这两个平面的公垂线段，公垂线段的长度称为面面距，一般将面面距转化为点面距来求。基础题：1，在空间四边形ABCD中，若，，，则等于（）A．B．C．

6、D．2.在以下命题中，正确命题的个数为（）①若共线，则与所在直线平行；②若所在直线是异面直线，则与一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量共面；④若三向量共面，则由所在直线所确定的平面与由所在直线确定的平面是同一个平面A．0B．1C．2D．33，（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考）若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（　　）A. (a+b)+c=a+(b+c)B. (a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)c=a(b·c)4，（陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）（A）（）

7、和（）；（B）（）；（C）（）和（）；（D）（）；5，在平行六面体中，化简的结果为______________；6，若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。7，（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是.8，（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）在正三棱柱AB