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1、龙游中学高二数学竞赛辅导1----函数值域最值问题一、基本函数的值域：1、一次函数的定义域为R，值域为R；2、二次函数y=ax2+bx=c(a不为0)的最值：①a<0，当x=时，；②a>0，当x=时，3、反比例函数的定义域为{x
2、x0}，值域为；4、指数函数的定义域为R，值域为［0，＋∞）；5、对数函数的定义域为［0，＋∞），值域为R；6、函数y=sinx、y=cosx的值域是；8、函数的值域为R。二、两个重要函数1、一次分式函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：（3）单调性：单调区间为（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点（5）
3、奇偶性：当时为奇函数。（6）图象：如图所示。2、对号函数的图象和性质：1°对号函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间上是增函数；在区间上是减函数（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。2°．函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间和上是增函数。（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。3°．函数的图象（如图所示）和性质（略）：三、一些常见类型的函数值域1、二次函数的值域问题例1、.当时，求的最大值和最小值.【解析】
例2、设函数f（
4、x）=x2+
5、x－2
6、－1，x∈R.，求函数f（x）的最小值.解：当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（）=.总之，f（x）min=.例3、根据下列条件，求实数a的值。（1）函数在区间上有最大值2；（2）函数在区间上有最大值7；（3）函数在区间上有最大值3。解：（1）①若则符合题意②若则均不符题意（舍）③若则符合题意∴综上所述，或（2）①若则不符题意（舍）②若则符合题意③若则符合题意∴综上所述，或（3）①若此时对称轴符合题意②若此时对称轴符合题意③若此时对称
7、轴不符题意∴综上所述，或例4、（2002年全国）已知a为实数，函数。（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。解：（1）当时为偶函数当时，不具有奇偶性（2）当时，①若，则;②若，则（2）当时，①若，则;；②若，则综上所述，当时，；当时，；当时，。即2、方程有解法题型例1、求函数的值域（法一）反解法：的反函数为，其定义域为，∴原函数的值域为。（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为。变式1：求函数（）的值域变式2：求函数的值域例2、求函数的值域；解：判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴△，∴且
8、，∴原函数的值域为。例3、求函数的值域解：（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为。例4、在条件下，求的最大值．解析：设，因，，故，则即因为，故，于是即将代入方程得，，所以注意：因仅为方程有实根，的必要条件，因此，必须将代入方程中检验，看等号是否可取．3、基本不等式法（对号函数）例1、求函数；值域.解：，∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立。∴，∴原函数的值域为。例2、已知二次函数，对于任意x都有，求的最小值.解：由条件可得由此可得，所以==，令，所以==等号当且仅当且即，即，时取得.例3、求函数()的最值．解析
9、：令，则又令，则 即有所以，注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例4、(2007广东文、理)已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.解法1:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.由于所以，从而，所以解法2：若,则,令,不符题意,故………2分当在[-1,1]上有一个零点时,此时或………6分解得或…………………………………………………………………8分当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分解得即………………12分综上,实数的取值范围为.………………………………
10、……14分4、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）例1、求；的值域换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为。注：总结型值域，变形：或例2、求；的值域解：三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为。例3、求函数的值域.（形如“”的函数）解析：法1：解：∴函数定义域为[3,5]当时，，当时，∴∴∴所给法2：∴函数定义域为[3,5]，且故设，即有∵∴所以法3：函数定义域为[3,5]，得法4、设，则（）求的范围变式：求函数的值域。解：由，得。令且，则。由，得，则，故函数的值域为。说明：此法适用于两根号内自变量都
11、是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。例4：已知、，．求的最值．解析：设，，(为参数
