李明波与四形之四.doc

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1、李明波与四边形之四郝锡鹏提要2007年6月建筑郎李明波，对他在2004年春节期间于《李明波与四边形之一》[1]中的研究结果，进行了调整和拓展。一、凸四边形中的李明波关联李明波研究的起点是如下结果：阿波罗尼定理平行四边形两条对角线的平方和，等于四条边的平方和。李明波定义：四边形的对边和对边、对角线和对角线，为四边形的对应线段；四边形对应线段中点的连线，为该组对应线段的中位线。ABCDEFGHO图1在图1中，李明波发现：只要注意到三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半，那么凸四边形ABCD四条边的中点E、F、G、H将是平行四边形EFGH的

2、四个顶点，根据阿波罗尼定理则有，即得。在图2中，设M和N分别是凸四边形ABCD的对角线BD和AC的中点，与上述结果同理，四边形MFNH和ENGM也都是平行四边形，用与上述相同的方法还可证得，。ABCDEFGHOMN图2李明波将上述结果汇总如下：定理1凸四边形每组对应线段的平方和，等于另外两组对应线段中位线平方和的2倍。即在图2中有（1）（2）（3）李明波对定理1的结果进行了“二次处理”：其一是：用（1）+（2）+（3）得（4）从而得如下结果：定理2凸四边形三组对应线段的平方和，等于三组对应线段中位线平方和的4倍。其二是：1、将（1）代入

3、到（2）+（3）之中得（5）2、将（2）代入到（1）+（3）之中得（6）3、将（3）代入到（1）+（2）之中得（7）得定理3凸四边形两组对应线段的平方和，等于第三组对应线段的平方和加第三组对应线段中位线平方的4倍。李明波通过观察（5）、（6）、（7）式发现，这三个等式中都含有四边形的三组对应线段，美中不足的是，都是有两组出现在等式的左面，而另一组却出现在等式的右面。如果把每个等式右面的一组对应线段在该等式的两面再加一遍，则这三个等式的左面都恰是三组对应线段的平方和（称这个和为W），此后三式的右面则应该是相等的。即。得（8）定理4凸四边形

4、对应线段的平方和，加该组对应线段中位线平方的2倍，这三个和式彼此相等，且均为三组对应线段平方和的一半。定理4的内容可参见图3中的同色线段，该定理出现了连等的形式，这有些同正弦定理类似。ABCDEFGHOMN图3二．阿波罗尼定理之逆阿波罗尼（Apollonius，约公元前262~190年）是古希腊伟大的几何学家，如此说来，阿波罗尼定理已经有大约2200年的历史了，可是其定理的逆命题成立吗？李明波对凸四边形研究的一个意想不到的收获是，他在2004年轻而易举地证明了阿波罗尼定理的逆定理。定理5若凸四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，

5、则该凸四边形是平行四边形。证明是这样的：定理3的三个等式之一是（5）将定理5的前提条件代入（5）式可得，即知该凸四边形的两条对角线的中点重合，而对角线互相平分的凸四边形必是平行四边形。故定理5得证。李明波就此事询问过侯明辉，侯明辉说：阿波罗尼定理基本上是大家共知的事情，但是其逆定理却从未见到过。李明波向侯明辉说明了自己的证明方法。三、评述本文介绍了关于凸四边形的李明波关联，其实，我们可以从中挑拣出一些非常精彩的结果。1、李明波双十定理凸四边形两条对角线的平方和，等于两组对边中位线平方和的2倍。见图4。1）李明波双十定理，其实是定理1的三

6、条结论之一。之所以称它为双十定理，是因为该定理所描述的是两条交叉十字线之间的数量关系。（1）ABCDEFGHO图42）李明波双十定理，公式中只含4个量，其内容简洁含概广泛，因为它对任意的凸四边形都成立。相比之下，拖勒密定理[2]就烦琐了，拖勒密定理只是针对圆内接四边形而言的，而且其公式所牵涉的量就有6个。另外，当该凸四边形是平行四边形时，李明波双十定理显然会导致文首所提及的阿波罗尼定理，即阿波罗尼定理是李明波双十定理的特例。3）李明波双十定理，所涉及的4条线段是重要的，因为李明波用这4条线段确定出了凸四边形的面积，并给出了优美的公式，我

7、们以后会写出专题予以介绍。4）李明波双十定理，当凸四边形有两个顶点合并成一点时，凸四边形变成了三角形，原来的对角线成了三角形的两条边，这时定理依然成立，即变为李明波雨伞定理三角形两边的平方和，等于第三边上面的中位线和中线平方和的2倍。即在图5中，有（9）ABCD李明波雨伞定理EFO图5（1）就用3个量解三角形而言，李明波雨伞定理和余弦定理异曲同工，而且李明波雨伞定理并不用牵涉三角函数。（2）李明波雨伞定理是优美的，不仅因为它是一个关于凸四边形定理的一种极限状态，还因为该定理等式两面的式子都是对称式，而与李明波雨伞定理等价的阿波罗尼中线定

8、理[1]，就不具有这种两面对称性。（3）李明波雨伞定理非常便于记忆：三角形伞型外部线段的平方和，等于内部线段平方和的2倍。2、李明波田野定理凸四边形对边的平方和加该组对边中位线平方的2倍，与另组对边的这种对