李明波双簧定理

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1、李明波双簧定理郝锡鹏提要2007年11月上旬，建筑郎李明波用五弦定理证明了双簧定理：圆内接凸四边形的两组对边、和、与一组对角线、应满足如下两个方程一李明波五弦定理图1abcdfABCmDnee李明波五弦定理[1]在图1中，、、、、、是端点属圆周上4点的6条弦，任取其中的5条可以建立如下6个等式：8（1）（1´）（2）（2´）（3）（3´）二遐思李明波为他五弦定理的整齐明快，而沾沾自喜。李明波首先注意到的是，对偶式（3）和（3´）中存在着相同的因式。之后，李明波所做的第一件事，是由（3）左侧×（3´）左侧=（3）右侧×（3´）右侧，得（4）约去等式两面的公因式后再开方便得（5）李明波所做的第

2、二件事，是由（3）左侧×（3´）右侧=（3）右侧×（3´）左侧，得（6）约去等式两面的公因式后再开方便得（7）8三验证可是，仅由五弦定理的对偶式（3）和（3´）所得出的（5）、（7）两式，会满足五弦定理其它两个对偶式的要求吗？另两个对偶式对六条弦的限定又是什么呢？1满足对偶式（1）和（1´）对六弦的要求李明波所做的第三件事，是由（1）左侧×（1´）左侧=（1）右侧×（1´）右侧，得关于六弦的一个必要条件之一是（8）此刻的李明波，没有直接用约去（8）式两面的公因式然后开方去得出与（5）式等价的，因为他顾及当公因式是0时会导致自己犯规。他所采取的是相反的办法，（5）式可变形为（9）将（9）式代

3、入（8）式可得恒等式（10）故知（5）式满足（8）式的要求。2满足对偶式（1）和（1´）对六弦的要求李明波所做的第四件事，是由（1）左侧×（1´）右侧=（1）右侧×（1´）左侧，得关于六弦的必要条件之二是（11）与上述同理。（7）式可变形为（12）将（12）式代入（11）式可得恒等式8（13）故知（7）式满足（11）式的要求。3和也满足对偶式（2）和（2´）对六弦的要求李明波用与1、2同样的方法，证明了（5）和（7）两式也满足对偶式（2）和（2´）对六弦的要求。四李明波双簧定理综合二的1、2、3所述可知，（5）、（7）两式是五弦定理的必要条件，可概括如下：图1abcdfABCmDnee李明

4、波双簧定理设图1圆内接凸四边形的两组对边为、和、，一组对角线为、，则它们满足如下两个方程（5）（7）8（5）式便是著名的托勒密定理。所以，李明波其实是用五弦定理重新证明了托勒密定理；而（7）式倒是个新发现，后来，李明波用三角形的一个面积公式，给出了（7）式的一个极其简洁的证明，以后我们将用专题对此介绍。该定理的发现，使李明波觉得托勒密似乎在和他一起唱着双簧，所以，他称这个定理为“双簧定理”。李明波~托勒密双簧定理，是李明波五弦定理的必要条件。五李明波双簧定理应用李明波注意到，由（5）式可得（14）由（7）式可得（15）而将等式（14）左侧×（15）左侧=（14）右侧×（15）右侧两面约去可

5、得（1）也就是说，从双簧定理的（5）、（7）两式中消去，便可得出五弦定理的（1）式。同理，从双簧定理的（5）、（7）两式中消去便可得出五弦定理的（1´）式，消去便可得出五弦定理的（2）式，消去便可得出五弦定理的（2´）式，消去便可得出五弦定理的（3）式，消去便可得出五弦定理的（3´）式。8所以，李明波反过来又用双簧定理又证明五弦定理，这说明双簧定理还是五弦定理的充分条件。到此，我们可以得出这样的结论：李明波五弦定理和李明波双簧定理互为充要条件。六李明波双簧定理的不可改进性图1abcdfABCmDnee在图1中，由双簧定理可知，古先贤托勒密当初对圆内接凸四边形的两组对边、，、和一组对角线、之

6、间的关系描述（5）是不完整的，它们所应满足的另一个方程是李明波所发现的（7）人们自然要问：在图1中，还会挖掘出第三个这类的方程吗？答案是：不存在独立于（5）、（7）两式之外的，关于六弦之间关系的其它方程。现在我们假设存在第三个这样的独立方程。用（5）和（7）式通8过消元已经得到了五弦定理的6个式子，从理论上讲，（5）式和假设的第三个式子通过消元也同样可以得到“另一种五弦定理”的6个式子，那么用这两个五弦定理再消元，就会得到一系列只含四个变量的“四弦定理”，而关于一般的“四弦定理”、“三弦定理”的不存在性，我们在文献[1]中已经做过论证。七侯明辉三弦定理与李明波五弦定理之间的关系图2abcd

7、feeαβ如图2，以正弦定理为桥梁，在托勒密定理（5）中做三个代换可得（16）约去上式中的外接圆直径便得侯明辉三弦定理[2]（17）所以，侯明辉三弦定理，其实是个“三弦两角定理”。8反过来，也可将侯明辉三弦定理（17）式变形到（16）式，再回归到托勒密定理（5）式。可见，侯明辉三弦定理和托勒密定理等价，都是李明波五弦定理和双簧定理的必要条件之一。所以，五弦定理含概“三弦两角定理”。八结语李明波五弦定理和李明波双簧定理的必