李明波与四边形 之三

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1、李明波与四边形之三郝锡鹏提要介绍李明波关于圆外切凸四边形方面的趣味性结果。引言2007年6月，建筑郎李明波忙里偷闲。牛顿老先生的一个几何结果引起了他的兴趣，其内容是：牛顿定理圆外切凸四边形的两条对角线以及两组对边切点的连线，四线共点[1]。此前，李明波早就知道古希腊天文学家托勒密[1]有一个关于圆内接凸四边形的一个结果：托勒密定理圆内接凸四边形的两条对角线之积，等于两组对边之积的和。后来有人证明，托勒密定理的逆定理也成立[1、2]，故可将此综述为：托勒密加强定理圆内接凸四边形的充要条件是：两条对角线之积等于两组对边之积的和。牛顿和

2、托勒密等使李明波联想到：圆外切凸四边形是否也存在某种充要条件呢？李明波对此进行了为时3天的探索。6一、圆外切凸四边形的充要条件之一图1OABCD李明波最先注意到：图1中的凸四边形外切于圆，由于圆若与角的两边相切，圆心必在该角的平分线上，所以圆外切凸四边形的圆心必同时在其四条内角平分线上，即其四条内角平分线必交于一点；反之，若凸四边形的四条内角平分线交于一点，说明该点到其四条边的距离都相等，所以以该点为圆心、以这四个相等的距离为半径作圆，则必与四条边都相切，该圆就是该凸四边形的内切圆。故得：定理1圆外切凸四边形的充要条件是：四条内角

3、平分线共点。二、圆外切凸四边形的充要条件之二可是，定理1只是关于圆外切凸四边形充要条件的定性定理，李明波在想：存在象托勒密加强定理那样，有关于边或对角线数学表达式的定量定理吗？李明波又注意到：由于从圆外一点向圆引的两条切线长度相等，6图2OABCDaabbccdd所以在图2中，可以推出（1）即得：引理1圆外切凸四边形两组对边之和相等。李明波过后才知，引理1其实是一个人们已知的结果。但是，它的逆命题成立吗？图3ABCDaabcddbGFEOb+c6李明波在图3中，假设凸四边形满足（2）然后作与凸四边形三边、、相切的圆，为∠和∠平分线

4、的交点，并对切点分别将这三边分成两部分线段的长度进行标注、、、。由（2）式易得（3）在上取，则△≌△（边角边），得=，进而有△≌△（边边边），从而知∠=∠（4）同理可证∠=∠（5）即和分别平分∠和∠，所以图3中当（2）式成立时，该凸四边形的四条内角平分线共点于，由定理1可知，该凸四边形外切于圆。即得引理2两组对边之和相等的凸四边形外切于圆。综合引理1、2可得：定理2圆外切凸四边形的充要条件是：两组对边之和相等。三、一个推论李明波考虑到引理理1的一种极限状态，那就是当凸四边形有两个顶点合拼成一点，即一个内角成了180度时的情况，这时

5、原凸四边形的两条邻边合拼成了一个6三角形的一条边，引理1便出现了如下特例：推论三角形的每条边被内切圆切点为两部分，每部分与对边之和相等。ABCFDE图4该推论是说，在图4中有，，（6）其实，（6）式3个等式中两侧的量，都是原三角形周长的一半，所以这6个量之间也相等。即==（7）评述李明波在沾沾自喜之余，观察了分别与定理1和定理2相对应的图1和图2（包括推论和图4），他觉得红色的线段和蓝色的圆之间，犹如用一些绳索在托扯和固定着一个蛋，所以，读者完全可以形象地称李明波的这些结果为李明波扯蛋定理。6法国年轻的数学天才伽罗华[3]曾经研究

6、过圆内接凸四边形，他用四条边表示出了两条对角线。伽罗华的结果是在说，如果圆内接凸四边形的四条边被给定，那么它的两条对角线也就相应地被固定了，即此时托勒密加强定理中的凸四边形是个不能变形的死图形。李明波扯蛋定理2显然是一个与托勒密加强定理相呼应的结果，而李明波扯蛋定理2表明，圆外切凸四边形当四条边被给定后，对角线仍是可以变化的，即它的形状是个可以变化的活图形，但是这种变形并没有改变它仍是圆外切凸四边形的这一本性，有兴趣的读者不妨用CAD验证此说。上述对比是否是在表明，李明波扯蛋定理2要比托勒密加强定理更具活性呢？李明波在几何上得出过

7、许多动中有静的定理，这就是我们以后将要忽悠的《李明波动感地带》。参考文献[1]沈康身。数学的魅力。上海：上海辞书出版社，2004：127，156[2]王文才、施桂芬。数学小词典。北京：科学技术文献出版社，1983：232[3]吴振奎、吴旻。名人趣题妙解。天津：天津教育出版社，2001：2406