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1、..Vol9No1第9卷第1期数学理论与应用u999年16月ATHEATICATHEORANAPPICATIONJne9991四元数矩阵的范数与迹的一些不等式’谢清明朱砾,,(湘潭大学数学系湘潭市411105).,摘要本文获得了四元数矩阵的范数和迹的一些不等式改进了近期的某些结果,,,,关键词四元数矩阵范数迹奇异值特征位1已l人.吉J.`J.在复数矩阵中,矩阵范数和迹的不等式已广泛应用于统计学,计算数学等方面由于四元.,数矩阵理论的发展许多数学工作者作出了很有意义和价值的工作(见[1〕一「6」),
2、,,q一a:a。kq记Q为实四元数体若+ib+j干dk任Q记奋一一ib一j一d为的共扼四元数、,、_v_。`~,、。,,一一1.~_、_。,~~*二,~“x”一~一拓,。一~~_一q一nn一N(、妇1一1互,R-eq飞~青(、q1+’奋1`)’用产’刁Q表示门’`m’一`x”阶’了’四元/“数矩阵’一,集2.、’一SC一”(“Q`)表`阶’/’四元/“数自共/“扼““一2~~一~~~~一~目.,,n矩阵集SC广(Q)(SC犷(Q)表阶正定(半正定)自共扼矩阵集设A任SC(Q)以下总设A12。“”,
3、几几;的特征值按大小排列为}(A)})!(Al))⋯)}凡(Al)设A任Q以下总设A的奇异值,·12m,。)!,!,。。。in(atr`一。按大小排列为(,,)(二,妻⋯、(,)设二一(,`Q表矩阵`的一答..,。,迹若AB任SC(Q)A>B(A)B)表示A一B任SC广(Q)(A一B任SC犷(Q))i,扭“”,::设A一a()〔Q用}}A}}表示A的欧氏范数元一lM一挥而邵酥面(1)::用{}A!}表示A的谱范数.:1~’1,A}{一办(AA)一(A)(2).2范数和迹的一些不等式6,,引理1〔j
4、设A任SC(Q)则.trA一习入(A)(3)3`,”x”,l,:2。,,2L」aaaa引理设A一()任Q且不妨设N()妻N())⋯)N()则对任意自然数,k(1kn簇簇)有:,氏。云}eR}簇艺丫丙丈丽簇云(A.)(4)3[sj、”x”,,,,引理设A〔Q’(t一12⋯m)则对任意自然数k(簇n)有·.l云a,(式人一式)簇习州A)州浅.)《式)(5)12。,,2。,,:,,,,,。。a。,4[7〕设)妻⋯))。。)。)⋯)。)O且)。(*一12⋯)则引理云习歌一飞矛飞一湖南省自然科学基金和省教委
5、科研基金资助刘建州教授推荐第2期谢清明等四元数矩阵的范数与迹的一些不等式对任意自然数m有,”衅k一(习云b1,2一6)、”火n,定理1设AB任Q则、··,Retr(八召)八tr(方刀):r(八八)tr(刀召).l(力可而区万刃簇l}11告(告合(7),在(7)中取B〔Sc示(Q)时即得、丫N[tr(AB)〕镇}}A!}tr.B(8).此式改进了[4」中引理1的结果,,定理2设A任SC穿(Q)B任SC穿(Q)则ZtrBZtrB一`一’tr(刀AAB)(9)+))A}itrA““”,“`,定理3设A任
6、QB任留则.E。:;:}}AB}簇}}A}}}{B}簇}}A}}{}B}}(10)3.迹的几个不等式,:用与复矩阵中一样的方法可证下结论,。,,引理5设AB任SC(Q)且A)B则(i)trAtrB;)(11)”只`,(11)对任意C任Q有’`BC;CAC)C(12),,(111)若八召任S嵘(Q)则.一`一,B)A(13),、,,定理4设A任SC犷(Q)BC任S件(Q)且B)C则tr一`BB)一’tr一`一`仁(A+B)+B(A+〕)〔(A+C)C+C(A+C)〕(14),,,定理5设A任SC穿(
7、Q)B任SC(Q)则.一`一`r“tr(BABA+ABAB))Zt(B)(17)参考文献.·ì.rJ月刁习飞门」Jes,,,,厂匕ì厂L巴一生,土gJō71百OJ刁J3(1983一3fb曹关于四元数自共扼矩阵迹的几个不等式8)3114重光数学杂志,,,,张树青关于四元数矩阵之迹的几个定理数学研究与评论4(1993)567一57.2·,,,,,刘建州谢清明关于四元数矩阵迹的几个定理的注记数学研究与评论4(196)627一630.,ean一oan,,,WildtHffm定理在四元数体上的推广(增)19
8、95121一124伍俊良数学研究与评论,,,,刘建州四元数体上的矩阵及其优化理论数学学报6(1992)831一83&,,,,谢邦杰自共辘四元数矩阵的行列式的展开定理及其应用数学学报5(1980)68一68.3·,,,,,谢清明刘建州关于矩阵迹的几个开问题宜春师专学报5(195)47一50SomeInequalitiesforNormandTracesofQuaternionatricesMeingmingZhuLiXiQ..,,,,(DePt几五ZthXiangtanUni二esr
