关于实矩阵迹的若干不等式.pdf

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1、2014年第9期牡丹江教育学院学报NO。9。2O14(总第151期)JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATIONSerialNO．151关于实矩阵迹的若干不等式林大华戴立辉(闽江学院，福州350108)[摘要]利用矩阵迹的基本性质，矩阵迹与矩阵特征值的关系，以及欧氏空间中的柯西一许瓦兹不等式·得到了实矩阵迹的若干个不等式。[关键词]实矩阵；迹；不等式[中图分类号]O178[文献标识码]A[文章编g-]1009—2323(2014)09—007802一、引言与预备知识￡

2、rA一(++⋯+)≥一矩阵的迹是矩阵的一个重要数字特征，许多矩阵及实际中的问题都可用矩阵的迹来处理，近年来关于矩阵迹的不等式问题受到了许多学者的广泛关注(见文献[1—3])．所以trA．本文对实矩阵的迹进行了讨论，通过矩阵迹的基本性质，矩(4)因为A的特征值均非正，所以～A的特征值均非阵的特征值以及欧氏空间中的柯西一许瓦兹不等式，得到负，于是由(3)有了实矩阵迹的若干个不等式，将文献[1—3]中的一些结论～trA=tr(-A)可=j1可推广至q了实矩阵。当是偶数时，一W<，2丌；当n是奇本文用R表

3、示实数域，用R表示R上所有n阶方阵数时，trA<-二二1W．集合，用A表示矩阵A的转置矩阵，其它记号可参见文献推论1若A是半正定矩阵，则irA≥0；若A是正定[4]。定义设A=(‰)∈R，则称矩阵，则打A>0．推论2设A∈R，则ltr(A)j≤(AA)．trA：：l1+口224-⋯+删证明：因为为矩阵A的迹。(A—A)(A～A)(A～A)：A一AA—AA由定义及矩阵的运算性质，易知阶实矩阵的迹具有+(A)。下列的性质。(A+A)。=(A十A)(A+A)=A+AA+AA性质1A—trA。4-(A)性

4、质ztr(kA4-lB)一ktrA+ltrB(Vk，￡∈R)．又因为A—A为实反对称矩阵，A+A为实对称矩性质3(AB)一lrf(BA)．阵，故有tr(A～A)O，tr(A+A)三三=0，所以性质4tr(AA)≥0，等号成立当且仅当A=0．trrA。一A丁A—AA+(A)。]≤O性质5若，A，⋯，是A的全部特征值，则IA】扩[A+AA+AA+(A)。]三三=0l2⋯，且由矩阵迹的性质2与性质3，得trA一A{+5+⋯+A(=1，2，⋯，，⋯)tr(A～AA—AA+()2)一tr(A)一扩(AA)一

5、推论若A与B相似，则teA—trB．扩(AA)+[()2]二、关于实矩阵迹的若干不等式一2tr(A)～2tr(AA)O定理1设A一(‰)∈R，则tr(A+AA+AA+()2)一tr(A)+tr(AA)+(1)当A一A时，A≥0．tr(AA)+r()2](2)当A一一A时，trA≤O．一2tr(A)+2tr(AA)≥0(3)当A的特征值均非负时，￡rA三三=W．所以(4)当A的特征值均非正时，trA≤．一tr(ArA)_0．故f

6、tr(A。)I

7、13年度教育教学政革研究项目(项目编号：MJUB2013033)。·78·和矩阵迹的性质3有一[r(A)]1B)]1trE(AB)]tr[(AB)(AB)]一tr(BAAB)一tr(BAB)：tr(AB)rA)2]1B)2]1一(trA)(trB)定理2设A，B∈R”，则推论6若A，B均为半正定矩阵，则tr(AB)tr(AB)<-Et~(ArA)]吉[扩(BB)]吉tr(A)tr(B)．证明在实线性空间R中，定义内积推论7若A，B均为半正定矩阵，，是非负实数，则(A，B)一tr(AB)(VA，B∈

8、R””)(+卢B)≤(扩(aA+))(：1，2，⋯)．则R”构成欧氏空间．由欧氏空间的柯西一许瓦兹不定理4设A∈R”，A特征值全为实数，则当A恰等式有k(>O)个非零特征值时，有(trA)~ktrA．(A，B)(A，A)(B，B)证明设矩阵A的全部特征值为实数，，⋯，．可得不等式不妨设，z，⋯，扎非零，而H，H，⋯，全为零．妒(AB)[扩(AA)]专tr(BB)]专于是有A的特征值为A{，；，⋯，不为零，而2一，l～，推论4设A，B为n阶实对称矩阵，则tr(AB)⋯，：全为零．则由