关于矩阵迹的运算.pdf[download]

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1、第31卷　专　辑陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.31Sup.2003年4月JournalofShaanxiNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2003文章编号:100123857(2003)Sup.20039203关于矩阵迹的运算马菊侠(陕西科技大学理学院,陕西咸阳712081)摘　要:给出矩阵迹的性质,讨论了乘积的迹及Kronecker积的迹.关键词:矩阵;迹;运算中图分类号:O151.21　文献标识码:A关于矩阵迹的运算,一般的书籍中涉猎甚少,本文给出有关问题的讨论.1　矩阵迹的性质n×n1.1

2、　设A,B∈C,λ,μ∈C,则tr(λA+μB)=λtrA+μtrB.n×nT1.2　设A∈C,则trA=trA.1.3　设A～B,则trA=trB.证明略.2　矩阵乘积的迹的运算nn×nKK2.1　设A∈C,K为正整数,则trA=∑λi,其中λi为矩阵A的特征值(i=1,2,⋯,n).i=1nK-1KK-1证明　设X∈C,X≠0,两边同乘以A,反复使用AX=λX,有AX=A(AX)nKKKK=λX,故λ是A的特征值,故trA=∑λi.i=1m×mn×n2.2A∈C,B∈C,则tr(AB)=tr(BA).证明设AB的全部特征值为λ1,λ2,⋯λm,BA的

3、全部特征值为μ1,μ2,⋯μn,则tr(AB)=λ1+λ2+⋯+λm,tr(BA)=μ1+μ2+⋯+μn.由Sylvester公式知,AB和BA由相同的非零特征值,它们仅区别在于零特征值的重数上,于是tr(AB)=tr(BA).由2.1及2.2易得KK2.3tr(AB)=tr(BA),K为正整数.m×nH2HH2.4　设A,B∈C,则

4、tr(BA)

5、≤tr(AA)·tr(BB).当且仅当A=αβ时等号成立(α为任一常数).特别地,当A,B为实对称矩阵及Hermiter收稿日期:2003203215作者简介:马菊侠(1962—),女,陕西咸阳人,陕西科技大

6、学副教授©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.40陕西师范大学学报(自然科学版)第31卷矩阵时有11220≤

7、tr(AB)

8、≤(trA)2·(trB)2Hm×n证明　定义函数(A

9、B)=tr(BA),则函数(A

10、B)是C上的内积.设A=(aij),B=(bij),则nmHtr(BA)=∑∑…bijaij,j=1i=1nmnmH2tr(BB)=(B

11、B)=∑∑…bijbij=∑∑bij,j=1i=1j=1i=1nmnmH2tr(AA)=(A

12、A)=∑∑…aijaij=∑

13、∑aij.j=1i=1j=1i=1由Cauchy2Schwarz不等式(x

14、y)≤‖x‖·‖y‖知nmnm1nm1tr(BHA)=…b2222∑∑ijaij≤∑∑bij∑∑aij,j=1i=1j=1i=1j=1i=1H2HH两边平方得(tr(BA))≤tr(AA)·tr(BB).显然当且仅当A=αB时,等号成立.HH222当A,B均为Hermiter矩阵及实对称矩阵时,A=A,B=B,则(trAB)≤trA·trB,两边开方即得结论.3　矩阵Kronecker积的迹运算m×mn×n3.1　设A∈C,B∈C,则tr(AáB)=trA·trB.证明　设A=(

15、aij),则a11Ba12B⋯a1mBa21Ba22B⋯a2mBAáB=,⋯⋯⋯⋯am1Bam2B⋯ammB即有tr(AáB)=tr(a11B+a22B+⋯+ammB)=a11trB+a22trB+⋯+ammtrB=trA·trB.m×mn×n2223.2　设A∈C,B∈C,则tr(AáB)=trA·trB.证明设A的全部特征值为λ1,λ2,⋯λm,B的全部特征值为μ1,μ2,⋯μn,则AáB的222全部特征值为λμts,1≤t≤m,1≤s≤n,(AáB)的全部特征值为λμts.于是mn222tr(AáB)=∑∑λμts.t=1s=12222又A的特征值

16、为λt(1≤t≤m),B的特征值为μs(1≤s≤n),于是mnmn222222trA·trB=∑λt·∑μt=∑∑λμts.t=1s=1t=1s=1故结论成立.m×mn×nKKK推广1设A∈C,B∈C,则tr(AáB)=trA·trB(K为正整数).K=1©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.　　专　辑马菊侠:关于矩阵迹的运算41时,该推广就为3.1,K=2时就为3.2.m×mn×nt×t推广2设A∈C,B∈C,C∈C,则tr(AáBáC)=trA·trB·trC.仅

17、证推广2.设A的一个特征值为λi,对应的特征向量为α;B的一个特征值为μj,对应