矩阵迹的性质与应用

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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某指导老师：某某摘　要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的范数定义Cauchy—Schwarz不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。关键词：迹矩阵范数特征值1引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列

2、矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。2预备知识定义1　设,则称为的迹。定义2　设,记与向量范数相容的的一范数为:(2)(3)(4)(5)引理：矩阵迹的性质:1证明：设则第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文又所以得证2(为任意常数)证明：设则由（1）与（2）知3证明：设则，其中所以有其中，所以有得证4证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。5证明：令（3）中即可得证。6证明：令（3）中即可得证。7（是的特征值）第10页安庆师范学院数学

3、与计算科学学院2013届毕业论文证明：由若当定理知因为相似矩阵迹相等，所以8证明：设矩阵的特征值为则矩阵的特征值为则由（7）即可得证9若,则;特别，（下面定理有证明）10若，，则有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。3解题中的应用例1设为同阶实对称矩阵，若正定，则和不相似。证：假设相似,则由性质9知,再由性质1得故由性质10知不是正定阵,与已知矛盾从而,和不相似。例2设n阶矩阵的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证证：设为的全部特征值，且则有又的主对角线

4、上的元素全是1，知则所以。第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文例3已知阶方阵，若对所有的阶方阵有,则。证：设，则有某。作矩阵，使,时，。则矩阵主对角线上的元素。与已知矛盾故例4设，的特征多项式为，则。证　因为所以　。例5设,,都是矩阵,且,,,则存在不大于的自然数,使得。证：先证.(为任意自然数)(1)由(1)和性质1、3得：再证的特证值都等于0。设的特征值为则存在可逆矩阵,使第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文所以从而　　（2）不失一般性,设的互异的非零特

5、征值为,且重数分别为。则(2)式变为:取前个等式,因为范德蒙行列式，因此。即非零特征值都是0重,故的特征全为0。　再证。由于的每个若当块都形如因此令:，则例6满足的矩阵叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。证:设阶阵为幂阵,且的秩,则的特征值是0或1,且具有个线性无关的特证向量,因而,与对角阵相似。第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文故必有满秩阵存在，使上式右端的对角阵的秩等于的秩,即该矩阵中的对角元素(特征值)有个为1，个为0。故由性质7知例7设有阶实对称矩阵,若，则有。证

6、：因为,所以半正定,故存在阶矩阵u其中是第个行向量，使得于是。又因为维列向量有于是由Cauchy-Schwarz不等式知，所以即从而故有例7设为一个阶矩阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记作.证明：如果对任意的阶方阵，都有，则证：设，取,则第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文所以.即例8证明：不可能有阶方阵满足证：设，为任二阶方阵，则主对角线上的元素为它们的和为同样，的主对角线上元素的和为亦即与的主对角线上元素的和相等，从而的主对角线上元素的和为零.但是，单位方阵的主对角线

7、上元素的和为因此4下面介绍一些有关矩阵迹的定理定理1Cauchy-Schwarz公式：设都是n阶矩阵，则有证明：设,则由向量的内积定义式，其中为与的夹角第10页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文即。推广到矩阵的迹的形式，即为定理2schur不等式设设是n阶矩阵，则有证明：因为又因为是反对称矩阵，故有定理3设为阶对称矩阵，则有证明：由Cauchy-Schwarz公式可知又即得定理4设都是阶实对称矩阵，则有证明：都是阶实对称矩阵，又由引理2可得又由引理3可得同时有即可得结论。第10页安庆

8、师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文定理5设阶矩阵的所有特征值都是实数，且，若恰有个特征值，则证明：设的个特征值为。因为，由引理1知的特征值为不为零，而其余的特征值考察以下平方和其中，显然且由于于是，有定理6设都是阶实对称矩阵，则有证明：由于都是阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得定理7设都是阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有证明：由cauchy-schwarz公式，且都是n阶实对称矩阵，使得设的特征值为的特征值为显然的特征值均大于0第10页安庆师范学院数学与计