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时间:2018-07-26
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1、本科毕业论文论文题目:幂零矩阵的性质与应用学生姓名:白雪学号:1004970231专业:数学与应用数学班级:数学1002班指导教师:徐颖玲完成日期:年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中,矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵,在矩阵理论中具有举足轻重的地位,实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质,本文将深入挖掘这些性质,并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质,讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件,并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性,并通过例子说明其在
2、实际中的应用。关键词:幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.PropertiesandApplicationsofNilpotentMatricesAbstractMatrixactsasakeyroleinstudyingandsolvingthequestionsinadvancedmathematics.Asspecialformsofmatrix,nilpotentmatricesplayakeyrolenotonlyinthetheoryofmatrixbutalsoinpracticalapplication.N
3、ilpotentMatriceshavemanygoodproperties.Inthepaper,wewillfindandprovewithvariousmethodsthesepropertiesinprofundity.Thepaperwillgivesomeuniquepropertiesofnilpotentmatricesanddiscussesthenecessaryandsufficientconditionofnilpotentmatrices.Thenthepapershowsitssuperiorityin
4、solvinginversematrix,andexplainsitspracticalapplicationbyexamples.Keywords:NilpotentmatrixLineartransformationInversematrixJordancanonicalformCharacteristicTrace.目录一、预备知识1(一)概念1(二)引理2二、幂零矩阵的性质3(一)幂零矩阵的特性3(二)矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件4(三)幂零矩阵和若尔当块5(四)幂零矩阵的其他性质7三、幂零矩阵的应用10(一)幂零矩阵
5、在矩阵求逆中的应用101.可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆102.求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆11(二)幂零矩阵在其他方面的应用13结论15参考文献16随着科学技术的迅速发展,古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要,矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系,甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域,矩阵理论也有着十分重要的作用。幂零矩阵在这些领域中也发挥着重要的作用,自20世纪60年代以来,许多学者探讨了一些幂零矩阵的性质,获得了许多
6、重要的研究成果。1964年Give证明了n阶矩阵A是幂零矩阵的充要条件是,近年来幂零矩阵得到了进一步发展。在我们学到矩阵的乘法运算时曾给出了幂零矩阵的定义,但对它的介绍甚少,因此我们将加强这方面的研究与总结。本文将归纳总结幂零矩阵的一些性质,有其自身所特有的特征,它和线性变换、若尔当标准形等方面的联系,还有其性质的具体应用,在后面的应用中我们提到了一些特殊矩阵的求逆,这体现了幂零矩阵的优越性。2预备知识2.1概念定义1.设为阶方阵,若存在正整数,使,则称为幂零矩阵。定义2.设为幂零矩阵,满足的最小正整数称为的幂零指数,并称是次幂零
7、矩阵。显然,阶零矩阵是特殊的幂零矩阵,其幂零指数为1。定义3.设,称为的转置,称为的伴随矩阵,其中为中元素的代数余子式。定义4.阶矩阵,称为的迹,记为。显然,的全体特征值的和等于。定义5.形为16的矩阵称为若当块,其中为复数,由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。定义6.称为矩阵的特征多项式。满足的的值称为矩阵的特征值。2.1引理引理1.设,为阶方阵,则。引理2.相似矩阵具有相同的特征值。引理3.(哈密尔顿—凯莱定理)设是阶方阵,是的特征多项式,则有。引理4.设为阶矩阵的特征值,则有,且对任意的多项式有的特征值为。引理5.每一
8、个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似,这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的,它称为的若当标准形。引理6.若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理7.阶若当块的最小多项式为且有。引理8.,为阶复数域上的矩阵,若,则存在可逆矩阵,使得,1
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