幂零矩阵性质及应用

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1、幂零矩阵性质及应用数本041严益水学号：410401109摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。关键词：幂零矩阵若当块特征值幂零指数一、预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社、

2、《高等代数》（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册）杨子胥山东科学技术出版社）（一）一些概念1、令A为阶方阵，若存在正整数，使，A称为幂零矩阵。2、若A为幂零矩阵，满足的最小正整数称为A的幂零指数。3、设，称为A的转置，称为A的伴随矩阵。其中为A中元素的代数余子式4、设A为一个阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为。5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。6、形为的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。1、称为矩阵

3、A的特征多项式。满足的的值称为矩阵A的特征值。2、次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。（二）、一些引理引理1：设A，B为阶方阵，则引理2：分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则有。引理3：每一个阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理5：阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。引理6：相似矩阵具有相同的特征值。引理7：设为阶矩阵A的特征值，则有，，且对任意的多项式有的特征值为。引理8：阶若

4、当块的最小多项式为且有。引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。引理10：A，B为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵T，使得。引理11：任意阶A，B方阵，有。一、幂零矩阵的性质（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　高等教育出版社、《高等代数》（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册）杨子胥山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》谷国梁铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》韩道兰罗雁黄宗文玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零

5、矩阵的十一条性质）性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。证明：为幂零矩阵令为A任意一个特征值，则由引理7知，为的特征值从而有=0即有又有，知为A的特征值。由的任意性知，A的特征值为0。的特征值全为0的特征多项式为由引理2知，所以A为幂零矩阵。得证性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为。证明：为幂零矩阵，由性质1，知：A的特征值全为0即由引理7，知的特征值为从而有由已知，(1.1)令为A的不为0的特征值且互不相同重数为由（1.1）式及引理7，得方程组(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为又互不相同且不为0，从而知，方程（1.2）只有0解，

6、即即A没有非零的特征值的特征值全为0，由性质1，得A为幂零矩阵得证性质3：若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A为幂零矩阵，由性质1，知A的特征值全为0由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得其中阶数为由引理4，知为J和特征值又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值所以即J的主对角线上的元素全为0由引理8，知为幂零矩阵得证性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有证明：为幂零矩阵，A一定不可逆由性质1，得A的特征值为由引理7，得的特征值分别为且有即得证性质5：若为幂零矩阵，则A非退化证明：令为A

7、的特征值若A退化，则有由引理7，得至少存在=0为A的特征值又由引理7，得为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾得证A为非退化性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵证明：为幂零矩阵又也为幂零矩阵得证性质7：若A为幂零矩阵且，则有证明：即任意，有即有性质8：若A为幂零矩阵且，则A不可对角化但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化证明：为幂零矩阵且A的特征值全为零为A的特征多项式且令为A的最小多项式，则有从而有由于，又此时即A的最小多项式有重根，由引理5，知A不可对角化为阶方阵由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得其中阶数为令阶数为则

8、有阶数为由引理8，知即为幂零矩阵现令即又D为对角阵，由（1）式知可