矩阵相似的性质与应用的研究

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1、矩阵相似的性质与应用的研究1引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握

2、和应用。2矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即将式代入上式，即有或令或，则式可以写作比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。由于矩阵-18-和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。2.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：。对称性：则。传递性：及可得：。如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值

3、。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)则，、、（若，均可逆）、从而，有相同的特征值。3相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又与是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基，使得线性变换在这组基下的矩阵-18-是个对角矩阵呢？我们逐步解决这个问题。首先设想矩阵能相似与一个对角矩阵，即设(1)

4、因而有(2)若把写成分块矩阵，这里代表的个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证，故由(2)式可得(3)或。这说明，若能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵-18-的每个列向量（非零向量）都满足(3)式。简言之，对于阶矩阵，维列向量，并且存在个线性无关的特征向量相应的特征值分别为即有取最终可得到即与对角形矩阵相似。3.2矩阵可相似对角化的性质（1）如果两个矩阵和都可以相似同一个对角矩阵，那么。（2）如果阶矩阵的每个重特征根，有则与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：证明：设阶矩阵的互异特征根为，其重数分别为，则有（必有个特征根），而由式得到。即齐次线性方程组的基础解系有个解向量。由式知道有个线性无

5、关的特征向量，故可得到与对角矩阵相似。（3）阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是具有个线性无关的特征向量。（4）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。（5）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。-18-定理：级矩阵可相似对角化的充分必要条件是：其中，,…，是的所有互不相同的特征根。证明：必要性若可相似对角化，则，又由，故有充分性：若，则有个线性无关的特征向量，故可相似对角化。3.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形。由于若尔当标准形

6、的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。定义：形如的方阵称为阶若尔当块。其中可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵。每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。4矩阵相似的应用-18-4.1矩阵相似在代数方面的应用.例1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工

7、补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。（1）求与的关系式并写成矩阵形式:=;（2）验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求。解：（1）按题意有化简得对其用矩阵表示即为=，于是（2）令，则由知，，线性无关。因-18-。故为的特征向量，且相应的特征值。因，故为的特征向量，且乡音的特征值为。（2）由于有=A====。由，有。于是