关于不等式的若干证明方法

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1、关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。例1已知且求证证明因为所以则因为所以又因为所以，故原不等式成立。例2已知求证证明因为，所以当时，19当时，于是即（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。利用分析法证明例1证明为了证明只需证

2、明也即证明因为，所以也即证明因为，所以即需要证明因为，所以恒成立，故原不等式成立。（三）、综合法综合法从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面不等式，直至推出要证明的结论，也就是“由因索果”。利用综合法证明例1证明因为，所以因为，所以，所以因为，所以所以19所以，所以原不等式成立。（四）、反证法反证法即从否定的结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确。这里推出矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，题目中含有“都”，“至少”，“至多”，“唯一

3、”等字的时候常用的方法。例3已知是正数求证下列三个数中有一个不大于证明设三个都不小于，即都大于等于则(1)因为，所以同理则(2)所以（1）式与（2）式矛盾，故假设不成立，则原命题成立。例4已知求证证明①假设中有一个为负，则，这与已知条件“”相矛盾.②假设中两为负，如，则这与已知条件“”矛盾.19③假设都为负，则这与已知条件“”矛盾.④假设中至少有一个为0，则这与已知条件“”矛盾.（五）、判别式法此方法关键是首先构造一个不等式或二次方程，使要证明的不等式的有关部分为它的系数或常数项.例5设在均可积，则证明若可

4、积，则，都可积，且对任何，可积,又，故,即++不等式右边上关于的二次三项式，故它的判别式即=故例6已知+，求证证明因为++所以-+又因为为实数所以19因为所以（六）、换元法换元法是不等式证明中重要变形方法，对结构较复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，恰当引入新变量代换原理中的部分式子，简化结构，使其转化为便于研究的形式，常见有三角代换和代数代换，但换时要注意新的变量的取值范围，保证代换的等价性.例7利用三角换元法已知求证证明令，其中则===例8利用代数代换已知为正数求证证明设则且中最多有一个是负数当都为非

5、负数时，有则，即原不等式成立当时，由于，则，即原不等式成立（七）、放缩法19放缩法是把要证明的不等式的一边，通过放大或缩小，借助一个或多个中间量，利用不等式的传递性，达到欲证的目的。但要注意放缩的标准，要恰到好处.常用的放缩法有增减的，利用分式的性质，利用不等式的性质，均值不等式，函数性质.例9证明证==1+==9例10已知为正数求证证明由为正数，则有=1又有=2故（八）、增量法①利用命题“若，则”例11已知是正数，且，求证证明不防设，令，则19因为所以，两边同时加上得,即注意：一般地，当给出的关系式时，我

6、们可以将表示为，其中为增量.这样的代换称为和增量代换，它给出了不等量间的等量关系，从而应用恒等变形的手段进行某些不等式的运算，达到降低运算量，顺利解决问题的目的。一般地，若题设中出现关系式，则可用和增量代换法证之.②利用命题“若则”当给出的关系式时，我们可以将表示为或的形系，这样的代换称积增量代换.例12设，比较与的大小证明因为，则可设于是==又因为，则，故（九）、数学归纳法数学归纳法是对于归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题，他先证明当取第一值，例如时命题成立，然后假设当时命题成立，证明当时命题也成立.

7、19例13设证明证①不防假定，从而左边-右边=（3）=故不等式（3）式成立②假设（3）式对成立，则当时，可以假定是中最小的一个,即这时需证=故只需证明即可左边-右边从而（3）对也成立.于是，（3）对所有皆成立.（十）、向量法利用向量法证明例1证令，，因为＊，所以又因为，所以19此种方法难点在于构造向量，但关键是否能够想到柯西不等式的向量背景.二、高等数学中不等式的证明方法1、利用重要不等式及有关不等式基本结果证明不等式①、②、③、伯努利不等式：设，为自然数，则有④、,⑤、柯西不等式：⑥、备注：＊是平面向量的

8、数量积与运算律的第五性质.⑦、⑧、，是任意数⑨、设在上可积，则有例14证明证因19而故当时，有，于是例15证明证利用不等式基本结果：，可得（4）把（4）式的左端从加到，则为19，即把（4）式的右端从加到，则为，综上原不等式得证.（二）、利用中值定理证明不等式关键是根据题意恰当构造函数，对所设函数利用中值定理即可.⑴、拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件ａ、在闭区间内连续ｂ、在开区间内可导则在内至少存在一点，使得⑵