巧用几何知解决生活中的一些常见问题.doc

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1、巧用几何知识解决生活中的一些常见问题     人们常说：数学知识来源于生活，应用于生活。确实如此！笔者在平时的教学和社会生活中就收集了几例需要用几何知识巧妙解决问题的实例，特借贵刊一角与大家共同探讨。    问题一：安装变压器。（如图一）有一条输电线路横穿AB两村而过，A村和B村商量，准备在这条电路上合伙安装一台变压器。现在的问题是这台变压器在这条电路的那个点上安装，才可以使得A村跟B村尽可能地节约成本（两村到变压器之间的路线最短）    现象：如图一所示，A村的人想将变压器安装在C点，B村的人想把变压

2、器安装在D点，理由是离各自的村子近(直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。)，两村的人为此争论不休……    分析：要使A村到变压器的距离与B村到变压器的距离的和最小，必须让变压器安装在通过A、B两村的直线与电线的交点处。    论证：两点之间的连线中（包括线段、折线和曲线），只有线段最短。如图一中，ACB和ADB是连接点A、B两点的两条折线，而AOB是连接点A、B两点的线段，所以变压器安装在O点处最为合理。     问题二：建桥问题。（如图二）长江两岸的A、B两个城市，虽近在咫尺，但由于一江之

3、隔，交通十分不便，导致两地之间交往、合作甚少。为了发展经济、合作交流。两市决定在长江上合资修建一座长江大桥。问题是大桥应选址在哪最为合理。（肯定是使得两地之间的交通路程最短为最合理的。我们假定两市之间这段水域江面的宽度是一样的。）    现象：受上例的启示，建桥规划设计单位在过两市的A、B点之间测定了一条直线（如图二）。新的问题又出现了：这条直线交长江北岸于D点，交长江南岸于C点，这两个点到底该选那个点呢？（大桥肯定是要垂直于河堤而建的），有人认为，这两点相距不远，区别应该不大，选哪个点都无所谓。那么还

4、有没有比这两个点更合理的位置呢？它在哪儿呢？    分析：要使两地之间的交通路程最短，也就是A市到江南桥头加上桥长，再加上B市到江北桥头的路程总和最短。由于这段水域的江面宽度是一样的，所以不管大桥建在哪儿，桥长都是一定的。那么，两市之间的交通路程最短的问题就转化成了，A市到江南桥头和B市到江北桥头这两段的总路程最短的问题了。    问题的解决：（如图三）作BB’垂直于江堤，使BB’的长度正好与江面的宽度相等。连接AB’交长江南堤于O点，作OP垂直于江堤，长江大桥就建在OP上。这样就可以使得A、B两市之间

5、的交通路程最短了。论证：如图四所示，由于BB’垂直于江堤且等于江面的宽度（引桥的长度忽略不计），所以BB’平行且相等于DF、PO、EC（大桥选址的几个不同位置）。于是四边形BB’FD、BB’OP、BB’CE就构成了三个平行四边形。由此可知BD=B’F,BP=B’O,BE=B’C。如果大桥建在DF处，则A市到江南桥头的路程AF加B市到江北桥头的路程BD的和就等于B’F+AF，显然AFB’是连接AB’的折线；同理，如果大桥建在CE处，则A市到江南桥头的路程AC加上B市到江北桥头的路程BE的和就等于AC+B’

6、C，同样可以看出ACB’也是连接AB’的折线。那如果将大桥建在OP处，则A市到江南桥头的路程AO加上B市到江北桥头的路程BP的和就等于AO+OB’从图中可以看出AOB’是连接AB’的线段。论证到此，就不难看出为什么要把建桥位置选在OP处了。     问题三：将军饮马问题。唐代诗人李颀在《古从军行》开篇写道“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。意识是士卒们白天登上山巅眺望报警的烽火，傍晚到交河岸边饮马。如图五所示，假如士卒们从山脚的A点出发到交河边饮马，然后回到驻地B点。则怎样选择饮马地点，才能使得路程最短

7、？这就是著名的“将军饮马问题”。     现象：如图五从A点到河边C点最近，但回驻地的路程较远，如果选择饮马地点为河边D点，回驻地的路程最近，但是从出发点A到饮马地点D的距离又太远了。这个问题又不同于上面的两个问题，怎么办呢？     分析：我们可以运用轴对称的思想把它转化成例似问题一的情形。如图五，以河边为对称轴（假定河边是一条直线），作出点B关于河边为对称轴的B’点，这样就把它转化成了问题一，连接AB’交河边于O点，这里就是使得从A点出发到河马饮马回驻地B点路程最短的最佳地点。      论证：由于

8、B’点是关于以河边为对称轴的点B的对称点，所以OB=OB’,饮马路程AO+BO就等于AO+OB’，AOB’是连接AB’的线段，其余的地点饮马路程一定大于这条路径，道理同问题一，这里不再敷述。      问题四：龙舟赛里夺魁的奥秘。某地在如图六的一条河上进行龙舟比赛，比赛规则是：从河中心的一个小岛P点出发，先到河东岸的本队教练那儿取回一面红旗，再到河西岸取回本队的领队在那儿插的一面黄旗，最后返回出发地P点处。怎样使得本队的赛程尽可能最短，是有