巧用定义解决双曲线常见问题(精).doc

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1、巧用定义解决双曲线的常见问题现行高中数学（北师大版）选修2-1第三章，介绍了双曲线的定义、标准方程既简单的几何性质。学生们学习虽然感到以上只是简单也比较好掌握。但涉及解决与双曲线有关的问题时，老师存在一些不得心应手的感觉。在教学中，本人通过对教材的分析和学生学习情况调查认为，深入理解双曲线的定义。灵活运用双曲线的定义就可以解决双曲线常见的问题。一、巧用定义解决求值问题例1、双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。分析：设点在已知双曲线的右支上，要求点的坐标。即求的长度，而，其中，只需求

2、的长度，即是圆⊙的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点在已知双曲线的右支上，由题意得，，，又，，，又，当点在已知双曲线的右支上时，切点为顶点,当点在已知双曲线的左支上时，切点为顶点例2、已知是双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，在双曲线的左支上，，，求的值分析：如右图，先做出的内切圆⊙，则⊙切于点，等于内切圆的半径。且，解：做出的内切圆⊙，则⊙切于点，，，，，例1、设是曲线:的焦点，为曲线:与的一个交点，则的值分析：利用双曲线及椭圆的定义找出、之间的关系。解析：设，，不妨设，显然椭

3、圆和双曲线共焦点，由椭圆和双曲线的定义可知且，在三角形中，由余弦定理可知一、利用定义解决离心率问题例2、已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，求双曲线的离心率.解析：由题意的，，由定义知，则。例3、已知双曲线的左右焦点分别为若双曲线上存在一点使得，求双曲线离心率的范围。解析：由双曲线的定义，，在中，结合双曲线的图像，，即例4、已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个六边形，球双曲线的离心率。解析：设为圆与双

4、曲线在第二象限的交点，则，，在中，一、紧扣定义求动点的轨迹例1、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上任意一点，的内角平分线的垂线，设垂足为，求点的轨迹。解析：如图延长交于由角平分线及垂直关系得，有是的中位线，从而，故为定值，即点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆（去掉与轴的交点）方程为例8、已知，,,若双曲线两支分别过例9、已知⊙：，⊙：，若⊙与⊙内切与⊙外切，求⊙的圆心的轨迹方程。解析：⊙：，圆心，半径，⊙：圆心，半径，由题意的，。，即是以为焦点的双曲线的左支。，，，，。点的轨迹为二、巧用定义解

5、决特殊问题1、求最值例10、已知是双曲线的左右焦点，是双曲线内部一点，为双曲线右支上一点，求的最小值解析：如图双曲线的定义，即当且仅当、、三点共线时“”成立。2、求三角形的面积例11、已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形中证明：。证明又综上