巧用定义求值.doc

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1、“巧用定义求最值”沙洋县后港中学黎后昌在圆锥曲线的学习过程中，学生常遇到求曲线上动点到焦点的距离与到另一某定点的距离之和或之差的最值问题，并且感到很棘手。老师在教的过程中，学生听起来觉得简单，觉得老师真是聪明，但真正遇到问题单独解决问题的能力没有得到提高。作为老师，我们的目的不是让学生认为老师聪明，而是让学生自己能独立解决问题。我们知道，曲线上的点到焦点的距离在椭圆和双曲线中都可以利用第一定义或第二定义进行适当的转化，抛物线亦是如此。如果我们的学生搞清楚“为什么要转化、怎么转化、转化的原理是什么”，上面我们提出的这类问题就迎刃而解了，学生自我解决问题的能力也就提高了。A(-1,1)A’(

2、-1,-1)PB(2,3)Oy图1x先看一个学生熟知的例子并从中提炼出解决问题的策略和思想。已知A(－1，1)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使

3、AP

4、+

5、BP

6、最小，并求最小值。这个问题学生在初中就能解答，但很多人只知其然而并不知其所以然。下面我们将这个题的解法回顾一下。找点A到关于x轴的对称点A’(－1,－1)，连接A’B与x轴的交点即为所求点P(如图1所示)。因为AA’关于x轴对称，所以

7、AP

8、=

9、A’P

10、，即用中垂线定理将

11、AP

12、转化为

13、A’P

14、。于是

15、AP

16、+

17、BP

18、=

19、A’P

20、+

21、BP

22、≥

23、A’B

24、（当且仅当A’、P、B三点共线时取“=”）。y怎么想到转化呢？通过学生自己的

25、思考，老师可帮助其总结：我们都知道要想在曲线上找到一点使其到两定点距离之和最小，若两点位于曲线的异侧，两点之间线段最短，连结两点所得线段与曲线的交点即为所求点。但上述问题中A、B位于x轴同侧，想直接找出这个点不易。若能将其中一段距离等价转化到曲线另一侧就方便了。运用这一思想，我们亦可解决圆锥曲线中的此类问题了。OPA(3,1)MNP’x图2F例1已知定点A(3,1)，F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上一动点，则

26、PA

27、+

28、PF

29、的最小值为。解析：定点A与F同在抛物线内侧，可将其中一段距离转化到抛物线的外侧：由抛物线定义可知其上任意一点P到焦点F的距离等于到准线的距离，即

30、PA

31、=

32、

33、PM

34、,

35、PA

36、+

37、PF

38、=

39、PM

40、+

41、PF

42、≥

43、AN

44、=3－(－1)=4(当P与P’重合时取“=”,如图2所示)，故

45、PA

46、+

47、PF

48、的最小值为4。（从抛物线入手开始讲解，从定义角度学生易接受，因为抛物线只有一种定义）例2已知定点A(3,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则①

49、PA

50、+

51、PF

52、的最小值为；②

53、PA

54、+

55、PF

56、的最小值为。OF1(-4,0)PxyF(4,0)P’A图3解析：①定点A、F都在双曲线右支的同侧，可将

57、PF

58、转化，使之与

59、PA

60、在曲线的异侧。由双曲线的第一定义可得

61、PF

62、=

63、PF1

64、－2a，于是

65、PA

66、+

67、PF

68、=

69、PA

70、+

71、PF1

72、－2a≥

73、A

74、F1

75、－2a=(当P与P’重合时取“=”,如图3所示)，故

76、PA

77、+

78、PF

79、的最小值为.OPxyF(4,0)P’AMN图4X=1②同①将

80、PF

81、进行转化。此时用第一定义受阻，而依题易知e==2,所以选择双曲线第二定义可得=2，所以

82、PM

83、=

84、PF

85、，于是

86、PF

87、被转移到双曲线的另一侧，从而

88、PA

89、+

90、PF

91、=

92、PA

93、+

94、PM

95、≥

96、AN

97、=

98、3－1

99、=2(当P与P’重合时取“=”,如图4所示)，故

100、PA

101、+

102、PF

103、的最小值为2.（这是个纯粹求和的最小值的问题，基础好点的学生通过例一的学习已经可以解决问题了，对后面的学习就有了信心）OPxyF1FP1P2A图5例3已知定点A(3,1)，F是椭

104、圆的右焦点，P是椭圆上一动点，则①

105、PA

106、+

107、PF

108、的最值为；②

109、PA

110、+2

111、PF

112、的最小值为。解析：①类比例2可将

113、PF

114、用椭圆第一定义转化，

115、PA

116、+

117、PF

118、=

119、PA

120、+8－

121、PF1

122、=

123、PA

124、－

125、PF1

126、+8，因为－

127、AF1

128、≤

129、PA

130、－

131、PF1

132、≤

133、AF1

134、（当且仅当A、P、F1三点共线时取“=”，如图5所示）,所以－≤

135、PA

136、－

137、PF1

138、≤，从而8－≤

139、PA

140、－

141、PF1

142、+8≤8+，故

143、PA

144、－

145、PF1

146、+8的最小值为8－，最大值为8+。OPxyFAMNP’图6X=8②利用椭圆第二定义。因为e==，所以=，即

147、PM

148、=2

149、PF

150、，从而将2

151、PF

152、转化到椭圆的另一侧。于是

153、PA

154、

155、+2

156、PF

157、=

158、PA

159、+

160、PM

161、≥

162、AN

163、=

164、8－3

165、=5(当P与P’重合时取“=”，如图6所示)，故

166、PA

167、+2

168、PF

169、的最小值为5。（该例题对学生的要求又得到提升，从单纯的求和演变成既有求和，又有求差）由上述例子，我们可以和学生一起总结出：知道在椭圆和双曲线问题中当遇到

170、PF

171、时可用第一定义转化，当遇到

172、PF

173、时可用第二定义转化，巧妙求出最值。另外，值得我们注意的是此类问题取等号的条件就是要满足“三点共线”。学生学会了这种解决求