巧用椭圆的第二定义解题.doc

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1、巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。MQ/P/QM/例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F（－，0），左准线l的方程为x=－，PQ是过F且与x轴不垂直的弦，PQ的中点M到左准线l的的距离为d，1：求椭圆的方程2：求证：为定值3：在l上是否

2、存在点R，使PQR为正三角形若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由1：解析：易得椭圆的方程2：证明：如图，作PP/l与P，QQ/l与Q，则由椭圆的第二定义，易得，；于是PQ=PF+QF=ePP/＋eQQ/=2ed==定值MRQ/P/PQM/3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R，使PQR为正三角形，且椭圆固定，则PQ确定，于是PQ的垂直平分线RM也确定，所以RM的

3、斜率确定，可以考虑先求RM的斜率，即求倾斜角－的大小，而COS=，由第2问的结论可得：COS===，MRQ/P/PQM/为45○，根据对称性，RM的斜率应为，进而可得PQ的方程及中点M的坐标，再由点斜式求得RM的方程，再联立左准线l的方程x=－，得交点R的坐标（－）。变题：已知椭圆，PQ是过F且与x轴不垂直的弦，若在其左准线l上存在点R使PQR为正三角形，求椭圆的离心率的范围。解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质，RM>MM/易得离心率e∈（）。