巧用椭圆的第二定义解题.docx

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1、Q/M/QP/2:证明：如图，作PFPP，QFQQ，于是PQ=PF+QF=ePP^eQQ/=2ed==定值巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F（―J2，0），左准线I的方程为x=—2PQ是过F且与

2、x轴不垂直的弦，PQ的中点M到左准线I的的距离为d,PQ1：求椭圆的方程2:求证：为定值d3:在I上是否存在点R,使PQR为正三角形若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由221：解析：易得椭圆的方程——131PPI与P,QQ/I与Q,则由椭圆的第二定义，易得33:解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，贝冋化PQ确定，于是PQ的垂直难为易。假设存在点R,使PQR为正三角形，且椭圆固定，则平分

3、线RM也确定，所以RM的斜率确定，可以考虑先求RM的斜率,RI3即求倾斜角Q/MM/的大小,Q/而COSQ/MM/=M斗，由第2问的结论可得:Q/MM/QMPCOSQ/MM/MM^PQ1Q/M#PQ.3e为45°，根据对称性，RM的斜率应为斜式求得RM的方程,再联立左准线Q/MM/1，进而可得PQ的方程及中点M的坐标，再由点的方程x=—23丘,得交点R的坐标（—-v'22变题：已知椭圆令a2b21(ab0),PQ是过Q/M/F且与x轴不垂直的弦，R使PQR为正三角形，求椭圆的离心率的范围。若在其左准线I上

4、存在点QMP解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质,RM>MM/易得离心率e€（,1）°33