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1、利用补集思想巧解题甘肃省嘉峪关市第二中学（）彭长军对于从正面求解或思路不畅或需分类讨论的一类数学问题，若能用补集思想求解，则可使问题变得简单易解，会收到意想不到的效果。利用补集思想求解时可先从结论的反面出发，得出反面结论后，再从整个情况（全集）中除去反面结论（补集），便得所求结果，下面举几例说明。例1.设A={x︱x2+(p+2)x+1=0},若A∩R+=Φ,求实数p的范围.分析：由A∩R+=Φ可知方程x2+(p+2)x+1=0无正实数根，于是，正面求解时要分以下两类：①方程无实数根；②在方程有实数根时，两根都为负数或都为0或一个为负数，
2、另一个为0,情况比较复杂.因此，适合用补集思想求解.解：由A∩R+=Φ可知方程x2+(p+2)x+1=0①无正实数根，令f(x)=x2+(p+2)x+1，则当方程①有正实数根时，由于f(0)=1>0，所以必有，即，解之得p≦-4，故当p>-4时，A∩R+=Φ.例2．若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足()A.m≠1B.m≠-C.m≠0D.m≠1且m≠-且m≠0分析：方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示直线2m+m-3和m-m不全为零，于是，正面求解时要分以下三类：①2m+m-3=
3、0且m-m≠0；②m-m=0且2m+m-3≠0；③2m+m-3≠0且m-m≠0.因此，适合用补集思想求解.解：∵当2m+m-3=0,且m-m=0,即m=1时，方程2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0不表示直线，∴当m≠1时，方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，故选A.例3.求二项式()15的展开式中所有无理系数的和分析：因为二项式()15的展开式中所有项的系数之和为()15=()，而展开式中有理系数容易由通项公式Tr+1=(-1)r3x15-ryr确定，因此，只需从所有项的系数之和中减去所有有理系数之和
4、即为所求.解：由通项公式Tr+1=(-1)r3x15-ryr可知，二项展开式中有理系数项只有两项(-1)03x15y0和(-1)1530x0y15，即3x15和-y15，其系数之和为3+（-1）=2.又在二项式()15中令x=y=1，得展开式中所有各项的系数和为()15.故展开式中所有无理系数之和为()15-2.例4.方程x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0中至少有一个有实根，求实数a的取值范围.分析：方程x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0中至少有一个有
5、实根包括以下三种情况：①三个方程中只有一个有实数根；②三个方程中恰有两个有实数根；③三个方程都有实数根.而①②两种情况各自又有三种情况，因此，正面求解不但要分类，而且是两级分类，情况复杂，适合用补集思想求解.解：∵三个方程均无实数根的条件为，即-2+≥=3,所以当不等式的解集为Φ时，a≤3.故选(C).例6.m为什么实数时，方程sin2x-sinx+m=0无实根.解：原方
6、程可化为-m=(sinx-)2，若方程有实根，则-1≦sinx≦1,∴0≦(sinx-)2≤,即0≤-m≤，由此可得-2≤m≤.∴当m<-2或m>时方程无实根.例7.若椭圆（k>0）与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点，求实数k的取值范围。解：易知线段AB的方程为y=x+1(1≦x≦3),代入方程，并整理得k2=(1≤x≤3)②.当线段AB与椭圆有公共点时，方程②在[1，3]上有实数解，由1≤x≤3得≤≤，即≤≤，而k>0,∴，即当时，线段AB与椭圆有公共点，故当0时，线段与椭圆没有公共点。例8.如果二次函数f
7、(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的公共点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围.分析：由f(0)=1>0，可知二次函数的图象不经过坐标原点，所以二次函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的公共点至少有一个在原点的右侧①抛物线与x轴相交于两点，且其中一个交点在坐标原点的左侧，另一个在坐标原点的右侧；②抛物线于x轴相切，切点在坐标原点的右侧；③抛物线与x轴相交于两点且这两点都在原点的右侧.因此可用补集思想求解.解：由二次函数的图象与x轴有公共点，得，即,解之得，m∈，此即为全集I.又由f(0)=1>0，可知二次函数的图
8、象不经过坐标原点，因此，当图象与x轴的正半轴没有公共点时，交点必在原点的左则，此时m满足，即，解之得，m∈,此即为A的补集。故所求m的集合A=(-∞,0)∪，即当m≤1且m≠0时二次函数的图象
