(no.1)“补集思想”在解题中的应用

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1、知识改变命运百度提升自我本文为自本人珍藏版权所有仅供参考“补集思想”在解题中的应用江苏省洪泽中学邵刚在集合运算中，大家都知道这样一个性质：，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。例1、已知集合A={y

2、y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y

3、y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，求实数a的取值范围。分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。解：易解得A={y

4、y>a2+1或y

5、2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围。如图由，得∴或.即A∩B

6、＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为.评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。例2、若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径。解：若三个方程均无实根，则有。设A=于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为例3、若x、y、z均为实数，且，求证：a、b、c

7、中至少有一个大于0.分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。证明：假设a、b、c均小于等于0，则a＋b＋c≤0,又a＋b＋c＝x2-2y+y2-2z+z2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，∴假设错误，故原命题成立，即a、b、c中至少有一个大于0.评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。2知识改变命运百度提升自我总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大

8、的帮助。2