利用_a_b__a_2_b_2巧解题

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1、１４数学通讯———２０１２年第９期（上半月）·辅教导学·利用｜ａ｜＞｜ｂ｜ａ２２巧解题＞ｂ郑良（安徽省灵璧第一中学，２３４２００）近年来，有关绝对值的试题在高考和自主招般需要分类讨论．利用换底公式消除参数ａ或将ａ生考试中频频出现．文［１］～［７］对这类问题进行分离出来是简化问题的关键．了解法归纳和性质推广．值得注意的是，很多学生解｜ｌｏｇ（１－ｘ）｜２２ａ－｜ｌｏｇａ（１＋ｘ）｜拿到绝对值问题仍然先入为主，借助绝对值的代２（１－ｘ）－ｌｏｇ２（１＋ｘ）＝ｌｏｇａａ数意义进行讨论，增大了运算量，效率低下甚至出＝［ｌｏｇａ（１－ｘ）－ｌｏｇａ（１＋ｘ）］［ｌｏｇａ（１－ｘ）

2、＋现错误．ｌｏｇａ（１＋ｘ）］实际上，借助绝对值的非负性，利用｜ａ｜＞１－ｘ２＝（ｌｏｇａ）·ｌｏｇａ（１－ｘ）．｜ｂ｜ａ２＞ｂ２来解题，可以减少甚至避免讨论，提１＋ｘ高解题效率，本文介绍这一方法，以期能对同学们１－ｘ因为０＜ｘ＜１，所以０＜＜１，０＜１－１＋ｘ有所启发．例１（２００９年高考数学山东卷理科第１３题）ｘ２＜１，所以ｌｏｇａ１－ｘ，ｌｏｇａ（１－ｘ２）同号，故１＋ｘ不等式｜２ｘ－１｜－｜ｘ－２｜＜０的解集２２｜ｌｏｇａ（１－ｘ）｜－｜ｌｏｇａ（１＋ｘ）｜＞０，为．所以｜ｌｏｇ（１－ｘ）｜２２，即ａ＞｜ｌｏｇａ（１＋ｘ）｜分析此类问题的常规思路是，记ｆ（ｘ）＝

3、｜２ｘ｜ｌｏｇａ（１－ｘ）｜＞｜ｌｏｇａ（１＋ｘ）｜．－１｜－｜ｘ－２｜，将ｆ（ｘ）写成分段函数的形式，分注以上解法自然巧妙，杀鸡何须牛刀！段求解然后整合．例４设定义在［－２，２］上的偶函数ｆ（ｘ）在解由｜２ｘ－１｜－｜ｘ－２｜＜０得｜２ｘ－１｜区间［０，２］上单调递减，若ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ），求实２２，解＜｜ｘ－２｜，两边平方可得（２ｘ－１）＜（ｘ－２）数ｍ的取值范围．得－１＜ｘ＜１，所以原不等式的解集分析由函数的定义域可知，ｍ，１－ｍ∈［－２，为｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝．２］，有四种可能，利用函数的对称性，结合性质例２设函数ｆ（ｘ）＝｜ｌｇｘ｜，若０＜ａ＜ｂ，且２２，可

4、避免了一场“大规模”的｜ａ｜＞｜ｂ｜ａ＞ｂｆ（ａ）＞ｆ（ｂ），证明：ａｂ＜１．分类讨论．分析如果按常规做法，将ｆ（ｘ）写成分段函数解因为ｆ（ｘ）是偶函数，所以ｆ（－ｘ）＝ｌｇｘ，（ｘ≥１），ｆ（ｘ）＝需要分类讨论ｂｆ（ｘ）＝ｆ（｜ｘ｜），故ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）等价于｛－ｌｇｘ，（０＜ｘ＜１），ｆ（｜１－ｍ｜）＜ｆ（｜ｍ｜）．∈（０，１）或ｂ∈（１，＋∞），思路自然，但过程繁杂．又ｆ（ｘ）在区间［０，２］上单调递减，所以｜ｍ｜解由ｆ（ａ）＞ｆ（ｂ）得｜ｌｇａ｜＞｜ｌｇｂ｜，则２２２２＜｜１－ｍ｜≤２，则｜ｍ｜＜｜１－ｍ｜≤４，解得ｌｇａ＞ｌｇｂ，即（ｌｇａ＋ｌｇｂ）（ｌ

5、ｇａ－ｌｇｂ）＞０，所以１ａａ－１≤ｍ＜．ｌｇ（ａｂ）·ｌｇ＞０．因为０＜ａ＜ｂ，所以０＜＜２ｂｂ注以上例题中，由｜ａ｜＞｜ｂ｜ａ２２的＞ｂａ１，故ｌｇｂ＜０，所以ｌｇ（ａｂ）＜０，即ａｂ＜１．左边得到右边，利用“升幂”公式求解．例３设０＜ｘ＜１，ａ＞０且ａ≠１，比较例５（２００９年高考数学天津卷文科第１６题）若关于ｘ的不等式（２ｘ－１）２２的解集中的整｜ｌｏｇａ（１－ｘ）｜与｜ｌｏｇａ（１＋ｘ）｜的大小．＜ａｘ分析常规思路采用作差法或作商法．由于数恰有三个，则实数ａ的取值范围不能确定底数是在（０，１）内还是在（１，＋∞）内，一是．·辅教导学·数学通讯———２０１２年第

6、９期（上半月）１５分析常规解法是：由（２ｘ－１）２２得ａ＜ａｘ函数ｇ（ｘ）＝｜ｘ－（ｍ＋５）｜２２＞０，展开整理得（４－ａ）ｘ－４ｘ＋１＜０，然后对ａ的图象是斜率为±１的两段进行分类讨论，过程繁琐．２２动折线的“组合”，当顶点为解显然ａ＞０，由（２ｘ－１）＜ａｘ得｜２ｘＧ（Ｄ），函数的图象经过点－１｜＜槡ａ｜ｘ｜．５３在同一坐标系下分别Ｃ（０，）（Ｂ（２，）），可求出２２画出函数ｆ（ｘ）＝槡ａ｜ｘ｜，５７图２Ｇ（－，０），Ｄ（，０）．ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜的图象，２２如图１所示．所以ｍ＋５＜－５或ｍ＋５＞７，解得ｍ２２２２由图知槡ａ＜２，即ａ＜－５或ｍ＞１．＜４．综上所述

7、，实数ｍ的取值范围是（－∞，－５）设两个函数的图象交图１∪（１，＋∞）．点的横坐标分别为ｘ１，ｘ２，注本题也可利用３ｔ２２＋（２ｍ－５）ｔ－ｍ－５ｍ１则ｘ１∈（０，２）．显然在（ｘ１，ｘ２）内，ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）＜０在ｔ∈［０，２］恒成立，借助二次函数的图象求解．恒成立．要使（ｘ１，ｘ２）内有三个整数解，那么这三个整参考文献：１数解必为１，２，３，也就是说ｘ２＝∈（３，４］，［１］简绍煌．从题目错解反思含绝对值不等式２－槡ａ的解法［Ｊ］．中学数学教学参考（上旬刊），ｆ（３）＞ｇ（３），２５４９即满足解得ａ∈（，］．｛ｆ（４）≤