利用等差数列的性质巧解题

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1、·辅教导学·数学通讯——2O1O年第7期(上半月)5利用等差数列的性质巧解题刘元利(湖北省武汉市关山中学，430074)等差数列是一种非常重要的数列，它不仅知(A)13．(B)26．(C)52．(D)56．识内涵丰富，与其它知识联系紧密，而且应用非常解。．。3+5—4+4，．’．a3+as：2a‘；广泛．特别是它有许多有用且有趣的性质，掌握这又7+13—10+10，．．．a7+a13=2a1o；些性质对解有关等差数列的题目往往会起到事半结合已知条件等式，得3·2口+2(2a。+a。)功倍的作用．=246(口4+a1o)=24，．．a4+a1o=4．性质l在

2、等差数列{a)中，n一a一．·．Sl：：甘l—d—a．例1已知等差数列{n)中，a+3as+as一一—26，120，则2n9一a1o一()故选(B)．(A)20．(B)22．(C)24．(D)一8．点评利用性质2时最易犯a1+口3一a4，a2解‘．．a1+n15==：2a8，．．．口1+3a8+815—5a8+a5+口6一a13一a8+a5等错误，这一点应引起大—120，从而a8—24．家的足够重视．又2ag—a1o=ag+a9一口1o=a9一d=a824，故选(C)．性质3在等差数列{a)中，口一一点评由已知等式(一个)不可能求出a和(2n一1)(口l+

3、Ⅱ2，广1)d，问题看似无解，但巧用性质1，则问题迎刃而解．a1+口212S塾—一一一一一一122n一12n一1‘例2在等差数列{口)中，公差d=妄，S。。厶例4两个等差数列{a}和{b}的前项和一45，则n1+a3+a5+⋯+a99一——．解。．。Sloo—al十a2+a3+a4+⋯+a99+分别为s和T，则^n一，{‘孚0，则使得为整a1oo=45，计l—da，数的正整数的个数是()。．．a1+(口2一)+a3+(口4一d)+⋯+a99+(A)2．(B)3．(C)4．(D)5．(口l0o—)一45—50d，解根据性质3可得，al+a1+。3+a3十⋯+

4、a99+a99S2．r11口2n一1S2l7(2n一1)+45—45—50×÷一2O，一==——————————==——————————————-———————————一bT2一lT2，广1(2n一1)+3厶_二=2(。l+a3+。5+⋯+n99)一2O1+a3+a5十⋯+99—10．—7+，点评本题若直接利用求和公式来求显然较欲使为整数，则必须+1为12的约数，又繁，且容易出错．性质2在等差数列{a)中，若m，n，P，q∈∈N‘，从而+1—2，3，4，6，12，相应地一1，N’，且m+n—P+g，则a+a一a+a口．2，3，5，1l，故选(D)．特别地，

5、当m+：==2p时，有a+a一2a．例5设A，B分别为等差数列{a}、{b)的例3在等差数列{Ⅱ}中，3(as+as)+2(n+a1。+a13)一24，则Sl3一()前项和，且D=}十4，求05．6数学通讯⋯2010年第7期(上半月)·辅教导学·解根据性质3，有(1)若a>0，d<0，则{S)中有最大项；A2×lo—l(2)若a<0，d>0，则{S}中有最小项．一=一旦．例8在等差数列{a)中，b5B2×5一l19B92×5—1①若a一3(，z一12)，则此数列前多少项的和最小?9199==一==一199+413‘②若a。>0，S一S，则此数列前多少项的例

6、6设S是等差数列{a}的前项和，若和最大?③若a>0，S一S，则此数列前多少项的一2n1测一a一”S和最大?解设数列{口}的公差为d，首项为a。，由解①易知a。一一33<0，公差d=3>0，=得窜=，故所有负数项加起来最小，由口≤O≤12，说明从第1项到第11项各项为负，a：一0，13项以后从而d一2a，各项为正数，．’．S一S为最小．．2n(2n一1)dz撇十——一．S21②‘．。a>0，S一S．。．{a)为递减数列，公一一一一一’差d<0，由S一S可知S的抛物线对称轴方程为一一12．S：为最大．点评利用性质3解题必须注意条件，即S，r一(2一1)口，如

7、果两下标之间不具备这种关③由口。>0及S。一S知公差d<0，{a}为系，则不能用它来解题，如例6用性质3无法顺利递减数列，故所有正数项的和最大，解决．又S8一Sl7口9+a1o+⋯+a16+al7=O口l3性质4等差数列{a)中，依次每项的和仍—0，从而a>0，故S。2一S。为最大．成等差数列，即S，S2一S，S。一S。，⋯，Sh—点评事实上，在等差数列{a)中，当a>0S卜，⋯也成等差数列，特别地，S。一3(S且S一S时，若+为偶数，则S为最大；若一S)．m+为奇数，则S==：S为最大．例7在等差数列{a)中，性质6在等差数列{a)中，设公差为d，则(1

8、)若S1。一30，S2。=8O，求S(1)点列(，n)是斜率为d的