用方差的隐藏性质巧解题.pdf

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1、用方差的隐丽胜质I触题■杨再发因为：方差的公式是s=-I-E()+(：一面)+⋯+O一由性质②得：a=b=c=1．所以a+6+c2=3．(一面)]，所以由公式得方差有隐藏的两个性质，①任何一组例4(加拿大第七届中学生数学竞赛试题)确定的最大数据的方差是一个非负数，②若一组实数的方差为零，则该组买数，使得实数Y，满足+Y+=5，xy+yz+=3．数据均相等，且都等于该组数据的平均数．性质的运用如下．解：由+y+=5得Y+=5一，例1已知+Y=8，xy一=16，求+y+的值．由xy+yz+z=3得yz+x(y+z)：3．解：因为+，，：8，所以：和y的平均

2、数为÷(+)：4．所以++=19，)，+z=5一，y2+z=19一．设与的平均数为七，则y+z=2k，=1(y+)又因为：xy—Z2=16，所以：xy=16+．．则：y@Ty~gs=÷[(一4)+(y-4)]=12设y与的方差为s：：(：+Z2—2kz)≥0．+y2—8(+)，)+323：[(+)，)一2y一8(+y)+32]即Y+一2k≥0．因为+Z2：19一2，y+：5一，=1(y+z)．：[64～2(16+z)一64+32]：一．所以19一2—21(y+z)≥0由性质①得：S是一个非负数．所以S≥0，即：一。≥0．则：≤0，所以：z=0．19一2

3、一—1(5一)≥0．由性质②得：=Y=4，所以：+Y+。=4+4+0：8．38—2一25+lOx—≥0．例2已知r上+b+c=6，。+b+c=12，求o+26+3一10一13≤0．2c的值．解得一l<≤孚解：因为0+6+c：6，所以口，b，c的平均数为=则的最大实数值是旱．例5(第七届美国中学生数学竞赛试题)已知a，b，c，d，e是满足a+b+c+d+e=8，0+b+c+d+e=16的实则。，b,c的方差是S：：[(口一2)+(6—2)+(。一2)z]数，求e的最大值．．：=士了1[(。82+b+c)一4(。r上+6+c)+12]：=÷[12—一24+

4、12]解：因为。，b，c，d的方差为=0．_s：÷(n2+6+c2+d一4)≥0．由性质②得：a=b=c=2．所以a2+b+C十d一4k≥0．所以：+2b+2c=2+2×2+2×2=10．。+6十c+d=16一e2例3(2005年全国初中数学竞赛试题)已知a+b+c=3，0+b+c+d8一ea+b+c：3，求血+6+C2的值．——一丁‘解：因为n+b+c=3，所以16一e2一()≥0．所以口，6，c的平均数为半=÷=1．5e2—16≤0，解得0≤e≤孚．所以e的最大值为孚．因为口+6+c=3．贝0n，b，c的S：÷[(0—1)+(6—1)+(c一1)]

5、=[贵州省沿河县沙子镇初级中学(565302)]1(。2+6+c)一2(n+6+c)+3]=÷[3—2×3+3]=、g!