利用函数的概念和性质解题

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1、利用函数的概念和性质解题函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程，江苏数学考试说明对函数的概念，函数的基本性质要求都是理解，是B级考点.理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大(小)值的概念及其几何意义，了解函数奇偶性的含义.一、函数的概念函数由定义域、值域、对应法则构成，其中起决定作用的是定义域、对应法则.具体要求是：理解函数的概念，了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则)，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.例1.下列函数：①；②；③

2、；④.其中与表示同一函数的是．分析：判定两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看一看定义域、值域、对应法则三要素是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数.解题思路是先求函数的定义域，再化简解析式，然后判断．解：函数的定义域为，①的定义域为，与不同；④的解析式与不同；③的解析式与不同；②的定义域为，解析式可转化为，显然与相同.所以答案为②.评注：解决这类函数问题的关键是正确理解所给函数的定义，结合定义进行判断.函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及从定义域到值域的对应

3、法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然；对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数．练习：下列对应：①，，，，；②，，，；③，；④，，.其中是从集合到集合的函数的序号为.5解：③中输入值为3时，在集合中没有对应的输出值，因此，③不是从集合到集合的函数，根据函数的概念，①②④是从集合到集合的函数.二

4、、函数的定义域函数的定义域是指能使函数式有意义的实数的集合，它是函数不可缺少的组成部分.函数的定义域问题主要有：（1）求由解析式给出的函数的定义域；（2）求由实际问题给出的函数的定义域；（3）简单的复合函数的定义域问题；（4）含有参数函数的定义域问题．．当函数的解析式确定时，求函数的定义域，只需使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．求定义域往往就归结为解这些条件结构式的不等式组，解时要注意细心，如端点的取舍、交集问题

5、等，还要注意结果应为集合形式．例2.函数的定义域为__________.分析：本题是考查二次根式和对数函数复合后的函数定义域的求法，必须根据在各自均有意义的情形下求解，即偶次根式被开方数大于等于0，对数的真数大于0.掌握对数函数的性质，正确熟练地解不等式组是解决本题的关键.解：要使函数有意义，必须，即，解得，或，∴所求函数的定义域为.评注：函数的定义域分为自然定义域和实际定义域两种，如果给定函数的解析式(不注明定义域)，其定义域应指的是使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)，如果函数是由实际

6、问题确定的，这时应根据自变量的实际意义来确定．求抽象函数的定义域的关键在于明确定义域的意义，定义域即为自变量的取值范围．练习：函数的定义域为__________.解：要使函数有意义，必须且，解得且，∴所求函数的定义域为.三、函数的解析式函数解析式的求法有：（1）待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；（2）换元法．已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；（3）解方程组法．已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，必须根据已知等式再构造其他等

7、式组成方程组，通过解方程组求出．函数的解析式是函数表示法的一种．求函数的解析式一定要注明函数的定义域，否则往往会导致错解．5例3.若函数（且）的图像过两点（）和（），则该函数解析式为.分析：本题是已知函数类型，利用待定系数法求函数解析式问题，只需将函数图象上两点的坐标带入函数解析式，得到关于字母常数、的两个等式进行求解.解：因为函数（且）的图像过两点（）和（），所以，即，解得.因此，该函数解析式为.评注：通常使用待定系数法求函数解析式的关键在于列出方程组求解析式，但很多求解析式的问题不一定给出是哪一种类型

8、的函数.特别地，在分段函数的解析式的求解过程中，书写一些分段函数的结论防止形式上的错误.练习：已知函数，且，，则的值为.解：，解得，所以，因此，.四、函数的单调性判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：（1）定义法；（2）图象观察法；（3）利用已知函数的单调性；（4）利用复合函数的单调性法则；(5)利用导数法．利用定义法的关键是对的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等．例4