函数的概念和性质

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1、第3章函数的概念和性质现实世界中许多量之间有依赖关系,一个量变化时,另一个量随着起变化.函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型.这一章我们来介绍函数的概念和表示方法,函数的性质,一元二次函数及其应用.一映射与函数3.1映射3.2函数3.3函数的三种表示法二函数的性质3.4函数的单调性3.5函数的奇偶性3.6函数的平均变化率3.7反函数3.8利用平移研究函数的性质三一元二次函数及其应用3.9一元二次函数的性质和图象3.10解一元二次不等式的图象法3.11用待定系数法求函数的解析式3.12函数的实际应用本章小结*现代数学和信息小窗口:线性码一映射与

2、函数一映射与函数3.1映射观察(1)同学们进入新的学校学习,开学初要分配座位:给一个班的每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子.(2)住校的同学还要分配宿舍:给全校住校生的每一位指定学生宿舍区里唯一一个房间.思考上述两个例子有什么共同的地方?(1)两个集合:A={一个班的学生},B={这个班的教室里的椅子};一个对应法则,使得集合A的每一个元素,有集合B的唯一确定的元素与它对应.(2)两个集合:C={一个学校的住校生},D={这个学校的学生宿舍区的房间};一个对应法则,使得集合C的每一个元素,有集合D的唯一确定的元素与它对应.抽象从上述这种类型的例

3、子我们引出下述概念.定义设A和B是两个集合,如果存在一个法则f,使得集映射map,mapping合A中每一个元素a,都有集合B中唯一确定的元素b与它对应,则称f是A到B的一个映射,记作f:A→Ba→b,其中b称为a在f下的象,a称为b在f下的一个原象.a在f下象image的象用符号f(a)表示,于是映射f也可以记成原象preimagef(a)=b,a∈A.83第3章函数的概念和性质说一说上述第一个例子中,分配座位(用f表示)是集合A到集合B的一个映射.如果李明同学的座位是第三排第5号,那么李明在f下的象是;第三排第5号那把椅子在f下的一个原象是,有个

4、原象.上述第二个例子中,分配宿舍(用g表示)是集合C到集合D的一个映射.如果李明同学分到102号房间,那么李明在g下的象是;102号房间在g下的一个原象是.如果102号房间住了6个同学,那么102号房间在g下有个原象.讨论(1)李明所在的学校有120名新生,编成三个班.设A={这个学校的新生},B={一年级(1)班,一年级(2)班,一年级(3)班}.把新生编班是不是集合A到集合B的一个映射?(2)下面是2001年3月份的月历:星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日123456789101112131415161718192021222324252

5、62728293031设A={3月1日,3月2日,…,3月31日},B={星期一,星期二,…,星期六,星期日}.3月份的月历是否给出了集合A到集合B的一个映射?是否给出了集合B到集合A的一个映射?(3)设2f(x)=x,x∈R,f是不是实数集R到自身的一个映射?(4)设g是非负实数集R+到R的一个对应法则,g把x对应到它的平方根.g是不是R+到R的映射?评注[1]从上述例子看到,集合A到集合B的一个对应法则f能84一映射与函数够称为映射,必须是f把A中的每一个元素对应到B中惟一确定的元素.[2]设f是集合A到集合B的一个映射,则把A叫做映射f定义域d

6、omain的定义域,把B叫做f的陪域.陪域co-domain一个映射f∶A→B由定义域、陪域和对应法则组成.因此,如果映射f与映射g的定义域相同,陪域相同,并且对应法则相同,则称f与g相等,记作f=g.所谓f与g的对应法则相同,是指对于定义域中的每一个元素a,有f(a)=g(a).[3]设f是集合A到集合B的一个映射,A的所有元素在值域rangef下的象组成的集合称为f的值域,记作f(A),即deff(A){f(a)

7、a∈A}.容易看出,f(A)B,即f的值域是f的陪域的子集.def符号“”表示用右边的内容来规定左边的记号的含义.[4]设f是集合A

8、到集合B的一个映射.如果f的值域f(A)满射surjective与f的陪域B相等,则称f是满射.单射injective双射bijective如果A中不同的元素在f下的象不同,即如果一一对应onetoa1,a2∈A且a1≠a2f(a1)≠f(a2),onecorrespondence则称f是单射.如果f既是单射,又是满射,则称f是双射(或者称f是A与注意:双射也叫作一一对B之间的一个一一对应).应,但不能叫作一一映射.练习A组1.设A={开,关},B={0,1}你能建立集合A到集合B的一个映射吗?2.下列各题中的对应法则是不是给出了实数集R到自身的一

9、个映射?(1)f:x→x+1;(2)g:x→2x;1(3)h:x→;x(4)k:x→x;(5)p:x→

10、x

11、