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《2018年中考数学专题：利用旋转巧解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用旋转巧解题在解几何问题吋，合理使用旋转法，能把分散的线段或角相对集中在一个熟悉的基本图形中，从而促使问题的解决.下面举例介绍利用旋转法解各类竞赛题，供参考..一.、三角形内的旋转例1（全国初屮数学竞赛题）如图1,P是等边三角形ABC内部一点，ZAPB,ZBPC,ZCPA的大小之比是5:6:7，则以PA,PB,PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是(.)(B)3:4:5(D)不确定(A)2:3:4(C)4:5:6D简析由于PA,PB,PC没有构成三角形，则需作辅助线构造以它们为边的三角形，可以将AABP绕B点顺时针转60°,APDC就是以PA,PB,P
2、C为边的三角形.解VABC是等边三角形，・・・将ABP绕B点顺时针转60°得ACBD.:.BP=BD,ZPBD=60°,则ABPD是等边三角形，PD=PB.而DC=PA,・・・PDC就是以PA,PB,PC为边的三角形.•••ZAPB,ZBPC,ZCPA的大小之比是5:6:7ZAPB=100°,ZBPC=120。,ZBPC=120°.:.ZPDC=100o-60°=40°,ZCPZ)=120°-60o=60°,ZPCD=180°-40°一60°=80°.・・・PA,PB,PC为边的三角形的三个角的大小之比是2:3:4.二、四边形内的旋转例2(2017年全国初二
3、年级数学竞赛题)如图2,梯形ABCD中，AD//BC,厶=90。，点E在AB上.若AE=42,BE=2&BC=70,ZDCE=45。,则DE=().(A)56(B)58(D)62(C)60G图2.简析由AB=BC,可得四边形ABCF是正方形，通过旋转得NECG三4ECD.在由勾股定理列出方程，求得DE的长.解过C点作CF丄AD交AD的延长线于点F,将4CDF绕点C逆时针方向旋转90°至ACGB,则由题意可得ABCF为正方形.由ZDCE=45°,得ZECG=45。=ZDCE.又由CG=CD,CE=CE,・・・ECG=ECD,EG=ED.设DE=x,则DF=BG=
4、x-2S,AD=10-DF=9S-x.在RtAEAD中有422+(98-x)2=x2,x=58,即DE=58.例3(广东省竞赛题)如图3,已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为V2+V6,求此正方形的边长.简析本题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把集屮起来，可使问题得证.解将AABE绕B点逆时针旋转60°,得'FBG,连GE,CF,则BEG为等边三角形,・・・GE=BE,FC5FG+GE+EC,即FC5EA+EB+EC.QFC为定长，・••当E点和G点落在FC上时，EA+EB+EC的最小值为FC,即FC二血+乔.作FH丄BC交
5、CB的延长线于H.设BC=x,QZFBC=150°,在RtFHC中,由）~=（—）~+（兀+得兀=2或x=-2（舍去）,即正方形的边长为2.三、五边形内的旋转例4（北京市竞赛题）如图4,己知五边形ABCDE+,AB=BC=CD=DE=EA,ZABC=2ZDBE,求证：ZABC=60°・简析要证ZABC=60°,可通过旋转得4CDF是等边三角形，得CD=BC=CF.・证明将AABE以B为旋转中心顺时针旋转ZABC,使得AB与BC重合，落在CBF位置，则CF=A£,BF=BE,ZCBF=ZABE.由ZABC=2ZDBE,・・・ZFBD=ZDBE.又BF=BE,BD
6、=BD,:XFBD=EBD,•••FD=ED.QCD=DE=EA,CF=AE,:.CD=DF=CFpZDCF=60°.又QCD=BC=CF,:.ZDBF」ZDCF=30。,2・・・ZABC=ZEBF=2ZDBF=60°.四、六边形内的旋转例5（北京大学自主招生试题妆口图5,已知六边形AC{BCB}中，AC{=AB„bg=砒,“二么人+上色+上点坎证：abc的面积是六边形AC.BA.CB,面积的一半.简析要得到ZV1BC的面积与六边形AQBA}CB}的关系，可通过旋'转将六边形AC.BA.CB,化成两个ABC和ABD.证明旋转ABCA{至ABDC、,连AD
7、,则VBC=ABDC,ZA,=ABC.Do由已知，得Z4+ZB,+ZAC,B=360o・QZAC1B+ZBC,r>+ZAC1D=360°,・・・ZB、=ZAC、D,QACl=ABl,CB[=CA}=ClD・・・V4B
8、C三AAC£,・・・AC=AD.又BC=BD,AB=AB,・・・S^cAC^BAyC^•
