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《高考数学 立体几何理科典型例题选讲.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何理科典型例题选讲1．（福建省三地09-10学年高二五校联考（理））如图在棱长为2的正方体中,点F为棱CD中点,点E在棱BC上(1)确定点E位置使面;(2)当面时,求二面角的平面角的余弦值;【答案】:(1)以A为原点,、、线为坐标轴建立如图空间直角坐标系设则面有且得为中点(2)面时取设面的一个法向量为且则取得二面角的余弦值为2．（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理））如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD．BC的中点,,ACDOBE(Ⅰ)求证:平面BCD;(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(
2、Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.【答案】(Ⅰ).证明:连结OC.同理.在中,由已知可得即∴平面(Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则,∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为ACDOBEyzx(Ⅲ)设E到平面ACD的距离为h,由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h又经计算得:E到平面ACD的距离为3．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））如图,在直三棱柱中,,｡M、N分别是AC和BB1的中点｡(1)求二面角的大小｡(2)证明:在AB上存在一个点Q,使得平面⊥平面,并求出的长度｡【答案】:如图建立空间直角
3、坐标系(1)∴设平面的法向量为,平面的法向量为则有设二面角为θ,则∴二面角的大小为60°｡(2)设∵∴,设平面的法向量为则有:由(1)可知平面的法向量为∵平面⊥平面∴即,此时｡4．（2009高考(陕西文)）如图,直三棱柱中,AB=1,,∠ABC=60.CBAC1B1A1(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角A——B的大小｡【答案】(1)证三棱柱为直三棱柱,,,由正弦定理w.w.w.k.s.5.u.c.o.m如图,建立空间直角坐标系,则(2)解,如图可取为平面的法向量设平面的法向量为,则不妨取w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5
4、．（北京市东城区08-09学年高二上学期期末）如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,E、F分别是AB．PC的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证:EFCD;(Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成角的大小.【答案】证明:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=2a,BC=2b,PA=2c,则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).∵E为AB的中点,F为PC的中点,∴E(a,0,0),F(a,b,c).(Ⅰ)∵=(0
5、,b,c),=(0,0,2c),=(0,2b,0),∴=(+).∴与、共面.又∴平面PAD,∴EF∥平面PAD(Ⅱ)∵=(-2a,0,0),∴·=(-2a,0,0)·(0,b,c)=0.∴EFCD(Ⅲ)若∠PDA=45°则有2b=2c,即b=c.∴=(0,b,b),=(0,0,2b).∴<,>=∴<,>=45°.∵AP平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量.PADCBMN∴EF与平面ABCD所成的角为90°-<,>=45°6．（四川省遂宁市08-09学年高二下学期期末（文））如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方
6、形,PA=AD=2,M、N分别是AB．PC的中点.(1)求二面角P-CD-B的大小;(2)求证:平面MND⊥平面PCD;(3)求点P到平面MND的距离.【答案】(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD上的射影.由ABCD是正方形知AD⊥CD,∴PD⊥CD．∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.∵PA=AD∴∠PDA=45º,即二面角P-CD-B的大小为45º(2)如图,建立空间直角坐标系至A-xyz,则P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),M(1,0,0),∵N是PC的中点,∴N(1,1,
7、1).∴(0,1,1),(-1,1,-1),(0,2,-2).设平面MND的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2).∴m,m,即有令z1=1,得x1=-2,y1=-1.∴m=(-2,-1,1).PADCBMNzxy同理由n,n,即有令z2=1,得x2=0,y2=1.∴n=(0,1,1,).∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0.∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD(3)设P到平面MND的距离为d.由(2)知平面MND的法向量m=(-2,-1,1)∵m=(0,2,-2)·
8、(-2,-1,1)=-4,∴
9、m
10、=4.又
11、m
12、=,∴d=即点P到平面MND的距离为7．（瑞安中学2010届高三暑期总结性测试）如图,多面体ABCDS中面ABCD为矩形,,E为CD四等分点(紧靠D点)｡(I)求证:AE与平面SBD(II)求二面角A—SB—D的余弦值｡【答案】:(I)平面ABCD又~,易证,AE与平面
