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《立体几何典型例题-理科.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何典型题【例1】（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1//平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】【例2】（2012•陕西）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=（Ⅰ）证明：CB1⊥BA1；（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题；证明题。分析：（I）连接AB1，根据ABC﹣
2、A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱
3、锥C1﹣ABA1的体积为．解答：解：（I）连接AB1，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB1A1，又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB，∴AC⊥平面ABB1A1，∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1，∵矩形ABB1A1中，AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴AB1⊥BA1，又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，∴BA1⊥平面ACB1，∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1；（II）∵AB=2，BC=，∴Rt△ABC中，AC==1∴直三棱柱ABC﹣A1
4、B1C1中，A1C1=AC=1又∵AC∥A1C1，AC⊥平面ABB1A1，∴A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高．∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半∴=AB2=2三棱锥C1﹣ABA1的体积为V=××A1C1=．【例3】（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．分析：
5、（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以MEDF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的
6、高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴MEDF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．【例4】（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,P
7、A⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC;(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:,[来源:21世纪教育网],所以与面所成的角的正切值是;(Ⅲ)由已知得到:,因为,在中,,设【例5】（2013年高考新课标1（理））如图,三
8、棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面
