矩形典型例题选讲

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1、矩形典型例题选讲　　本讲通过以下例题的分析与解答，介绍如何综合运用所学知识解决问题。　　例1.：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O点，AE平分∠BAD，交BC于E点，若∠CAE=15°，求∠BOE　　分析：由已知不难得出∠OBE=30°，欲求∠BOE的度数，需解决BO与BE之间的大小关系。　　解：如图所示，在矩形ABCD中，　　∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB=45°　　在△ABE中，∵∠BAE=45°，∠ABE=90°　　∴∠AEB=45°，∴AB=BE　　∵∠EAD=45°，∠EAC=1

2、5°　　∴∠CAD=30°　　∴∠BAC=90°-30°=60°　　∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，　　∴AO=BO　　∴△ABO是等边三角形，即AB=BO　　∴在△BEO中，BE=BO　　而∠EBO=30°　　　　例2.已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系。　　分析：如果连结BF，由已知，设法推出∠AFB+∠BFC=90°，若连结AC，设与BD交于O点，并连结OF，还可利用矩形的对角线互相平分且相等，以及三角形中

3、位线的性质，得出，相比之下，后者方法较好　　解：AF⊥CF，证明如下，　　如图，连结AC，设它与BD交于O点，连结OF　　∵四边形ABCD是矩形，　　　　在△DBE中，∵DO=OB，DF=FE　　　　又∵BE=BD，BD=AC　　　　在△ACF中，∵AO=OC，　　∴∠AFC=90°　　∴AF⊥CF。　　例3.已知：如图，矩形ABCD中，CM⊥BD，AE平分∠BAD和MC的延长线交于E点。　　求证：AC=CE　　分析：欲证AC=CE，只要∠E=∠CAE，为了证明这两个角相等，不妨设∠DAO=α，这样可确定

4、此图形的形状。只要求出∠E也等于45°-α即可　　解：如图，在矩形ABCD中，设∠DAO=α　　∵EA平分∠BAD，∴∠EAD=45°　　∴∠CAE=45°-α　　∵AO=OD，∠DOC是△AOD的外角　　∴∠DOC=2α　　又∵CM⊥BD，∴∠MCO=90°-2α　　而∠OCM是△ACE的一个外角　　∴∠E=∠OCM-∠CAE　　=(90°-2α)-(45°-α)　　=45°-α　　∴在△ECA中，∠E=∠EAC　　∴AC=CE　　想一想：如果作AN⊥BD于N点，由已知EM⊥BD，可得AN∥ME，则∠E

5、=∠EAN，这样，欲证∠E=∠CAE，只要证∠EAN=∠CAE。这又转化为证明∠BAN=∠DAC。试一下，这样作辅助线进行证明如何？　　例4.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，AE是∠BAC的外角平分线，DE∥AB，交AE于E，试确定四边形是什么图形？　　解：四边形ADCE是矩形　　证明如下：　　对于△ABC，　　∵AB=AC，AD⊥BC　　∴∠B=∠ACB，BD=DC　　又∵AE是其外角∠CAF的一部分线　　　　∴AE∥BC　　又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形　　∴AE=

6、BD，AB=DE，从而AC=DE　　∴AEDC∴四边形ADCE是平行四边形。　　又∵AC=DE，∴四边形ADCE是矩形。　　例5.取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：　　第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)：　　第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图(2)　　第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图(3)　　利用展开图(4)探究：　　(1)△AEF是什么三角形？证明你的结论。　　(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三

7、角形？请说明理由。　　　　[解]　　(1)证明：如图7-72△AEF是等边三角形，　　证法一：　　由平行线分线段定理知PE=PA，　　∴B'P是Rt△AB'E斜边上的中线，　　∴PA=PB'，∠1=∠3　　又∵PN∥AD，∴∠2=∠3而2∠1+∠2=90°　　∴∠1=∠2=30°，在Rt△AB'E中，∠1+∠AEF=90°　　∴∠AEF=60°，∠EAF=∠1+∠2=60°　　∴△AEF是等边三角形。　　证法二：　　∵△ABE与△AB'E完全重合，　　∴△ABE≌△AB'E，∠BAE=∠1　　由平行线等分

8、线段定理知EB'=B'F　　又∠AB'E=90°，∴△AB'E≌△AB'F，AE=AF　　∴△AEF是等边三角形。　　(2)不一定。　　由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的时正好能折出。　　如果设矩形的长为a，宽为b，可知　　当时，按此法一定能折出等边三角形；　　当时，按此法无法折出完整的等边三角形