数学开放题编 1.doc

《数学开放题编 1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学开放题汇编11．已知是实数，给出下列四个论断：（1）；（2）；（3）；（4）以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．__________________________________．分析本题考查不等式的性质．显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）．点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境

2、中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．ABCDA1B1C1D12．如右图，在正方体中，写出过顶点A的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．_____________________________分析：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可．正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB1即符合条件（与BA、BD、BB1所成角相等）．3．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是____________

3、_______（只需写出一个可能的值）．分析：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为．点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各

4、个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．4．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于，，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些成立的例子吗？分析：（Ⅰ）．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义．性质②如果

5、能够推广，那么,它的推广形式应该是：，其中，是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当时，．当时，由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从的定义不难知道，当且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形．先从熟悉的问题入手．当时，就是组合数，故．当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？一方面再一次考察定义：；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将转化为可能是问题解决的途径．

6、事实上，当时，．①若，即，则为组合数，故．②若，即时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：＝0……，可以猜想，此时．这个结论不难验证．事实上，当时，在这m个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，．综上，对于且为正整数，均有．点评：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．5．老师

7、给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于，都有；乙：在上函数递减；丙：在上函数递增；丁：不是函数的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．分析：首先看甲的话，所谓“对于，都有”，其含义即为：函数的图像关于直线对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在上单调递减，并不是说函数的单调递减区间只有．考虑到关于直线的对称性，我们

8、不妨构造函数，使之在上单调递减，这样，既不与乙的话矛