数学开放题教学重在“开放”

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1、数学开放题教学重在“开放”　　诺贝尔物理学奖获得者谢尔盖?格拉肖认为，培养杰出科学人才的关键在于“让年轻人停止当学生，使他们开始成为物理学研究者”。他的话从一个角度说明了当前学校教育存在的弊端――教科书、学校及教师常常给学生设定了学习路径和找寻正确答案的方向。随着信息技术的飞速发展，社会形态越来越开放多元，随时都会碰到问题，不知道问题是否能够获解，有时甚至不知用什么方法解决。为了帮助学生实现“学用”结合，学校教育亟须更多地开放，让学生的学习更接地气，促进学生更积极主动地创新。学生是天生的创造者和探究者，从这个意义上说，以数学开放题为依托的开放课堂为学生问题解决能力的培养提供了另一种路

2、径，笔者以苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册“平行四边形面积”为例，谈谈自己的实践与体悟。　　一、探究思路开放：猜想与实验的无缝对接　　猜想和实验是学习数学的两种重要方法。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。数学研究更需要实验，数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理，最后用特有的严谨数学语言表达出来。教科书一般都把问题背景和探索过程省略了，这就需要学生在学习时进行必要的“时空穿越”，以亲临其境的姿态进行探寻。7　　从这个意义上说，教师应在教学过程

3、中为学生提供丰富的现实背景，激发学生的学习积极性，引导学生从不同角度进行大胆猜想，并给予他们充足的自主探索、实验操作和合作交流时空，在问题解决过程中帮助学生积累广泛的数学活动经验，发展数感，提高探索、发现和创新能力。　　课始，笔者用课件出示一个长方形花坛和一个正方形花坛，问学生会算这两幅图形的面积吗？因为没有标出相关数据，学生无法直接解答。在得到否定回答后，教师给这两幅图分别覆盖上方格图（每个方格边长1厘米），学生很自然地就能调用原有知识经验口答出两幅图的面积。这种通过数方格的方式推导平面图形面积的方法为学生的后续学习做了回顾、示范和铺垫。教师接着设疑，出示一个平行四边形，让学生猜想

4、一下它的面积会用怎样的算式来计算呢？让学生充分发表自己的观点。因为受到长方形、正方形面积计算方法的影响，学生有可能出现三种不同的假设，即：6×5、6×4、5×4。教师及时抓住学生的疑惑，适时激发思考：这3种假设都正确吗？可能有几个正确算式？（提示：假设有可能都不对）教师指出：数学思考不能只停留在假设阶段，更重要的是要寻找方法验证假设，并顺势板书：假设―验证，为本课学习归纳出第一条路径。　　这一过程从长方形、正方形的面积计算方法引入，引发学生对旧知识回顾，再出示一个平行四边形，让学生根据自身已有知识经验猜想，教师罗列出三种不同想法后，引导学生评判，从而进一步诱发学生进行校验，为学生搭建

5、了概念学习的多元开放的探究架构。　　二、探究过程开放：特例与归纳的内在关联　　波利亚曾精辟地指出：“7数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”诚哉斯言，数学不是一门实验性的科学，故而在学习过程中不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题真假的充分依据，但实验对数学发现及探求数学问题的解决思路起着重要作用。正如欧拉所言：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。”　　受长方形面积计算方法的定势和干扰，不少学生认为平行四边形的面积等于相邻两条边的乘积，这是学生认知中最大的障

6、碍。为了突破这个难点，执教者对教科书进行了大胆重组，让学生放开手脚在猜想验证中自主探索，体现研究思路多元，研究方法开放。在学生猜想同一个平行四边形有三种不同的计算方法后，及时组织师生互动，让学生通过反思认识到这三种假设有可能一个都不对，也有可能只对一个。正所谓不愤不启，学生身处思维的困顿之中，教师启发、点拨学生可以用数方格的方法尝试实验。　　师生合作用边长1厘米的小正方形铺一铺，实验发现图2中用20个完全一样的小正方形一个一个地铺平行四边形，无法铺满整个平行四边形，即平行四边形的面积比20cm2大。因此，5×4=20cm2是错误的。继续用小正方形铺，如图3所示铺上28个小正方形时，就

7、会超出平行四边形，也就是说平行四边形的面积小于28cm2，故5×6=30cm2也是错误的。剩下的假设――6×4=24cm2就一定正确吗？教师放手学生继续猜测。师生合作、讨论，寻找问题解决的办法，教师注意搜集整理学生想法，诱发学生思考，揭示转化策略，并和学生一道借助课件演示尝试通过剪、拼的方式，把图中多余部分平移、擦去后（图4），学生发现平行四边形的面积恰好是6×74=24cm2。教师适时与学生一起回顾6cm、4cm分别在图形中所担负的角色――它们分别为一组