漫谈数学开放题

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1、漫谈数学开放题【】G623.5【】B【】1001-4128（2011）03-0227-01　　　　开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。　　1开放意识的形成　　让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新

2、问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。　　关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。高考题中也出现了开放题的“影子”，如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题（既

3、有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；　　从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。　　2开放问题的构建　　有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解

4、法的开放而获得新思路。　　〔例1〕已知,并且求证（《高中代数》下册第12页例7）　　除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。　　〔例2〕由圆x2y

5、2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4y2=1）　　问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。　　对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。　　如改变位置，将A写

6、成“(x-a)2(y-b)2=4”，即可得所求的轨迹方程为(x-a)2(2y-b)2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2(y-b)2=4与椭圆x2(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由。　　简解：解方程组得y=0或y=2b/3　　当y=0时，x2b2=4，　　（1）若b2，圆与椭圆没有公共点；　　（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；　　（3）若-26，圆与椭圆没有公共点；　　（2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；　　（3）若-66时没有公共点；当b=±6时

7、恰有一个公共点；当-66时，圆x2(y-b)2=4上的点到椭圆x2(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。　　对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。　　3开放问题的探索　　开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下

8、以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。　　〔例3〕已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如图）　　（1）试尽可能地找出：　　（a）点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；　　（b）图中各线段的垂直关系.　　（2）如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？　　〔分析与解〕（1）（a）